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 高校生のための中間テスト
難易度：★
 河野真衣
2013/10/19 11:03
「中高生のための中間テスト」にしようと思ったら、日頃「僕の得意教科は数学だ」と自慢している中学生が、「これは僕には無理だね」と言うので、「高校生のための…」と題しました。 とは言っても私に学力、知識、それに根気が不足していて微積分や行列を駆使しないと解けないような問題は出せませんのでこのあたりで。
［問題］ xy座標平面上の二つの曲線、x^2+y^2=r (r＞0) …① と xy=x+y …② が三つ(四つではありませんよ)の共有点を持っています。このとき、これら三つの共有点を結んでできる三角形の面積はいくらでしょう?
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回答募集は終了しました。
河野真衣
どうかな? … お見事! 正解です。
 
河野真衣
ご丁寧に有難うございます。お言葉に沿って鋭意、努力致します。
安物の洗剤では失礼ですので、高級化粧石鹸を使い、銀のストローで作ったシャボン玉をお送りします。
ヒミツ
回答有難うございました。答えです。
曲線①は中心 (0,0)、半径 √r の円、曲線②は (0,0),(2,2) を頂点(というのかな?)とし、直線 x=1 と y=1 を漸近線とする双曲線でどちらも直線 y=x について対称です。これをもとに簡単な図を描いてみると以下のことがすぐ分かります。 1. 曲線①と②は、第2象限と第4象限に必ず一個ずつ共有点を持つ。 2.残り一つの共有点は、①と②が接する (2,2)である。(この点における共通接線は、x+y=4) したがって、rの値は、r=2^2+2^2=8 (2,2)以外の共有点は、連立方程式 x^2+y^2=8, xy=x+y を解けば求めることができます。 方程式を解くことにより、三共有点は、(x,y)=(2.2)、(-1-√3,-1+√3)、(-1+√3,-1-√3)であり、これら三共有点のいずれの二点間の距離も2√6 で、すべて等しいことがわかります。 即ちできる三角形は一辺が2√6の正三角形です。 よって面積は、S=√3/4×(2√6)^2 = 6√3 |
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