問2まで。
らしく書いたけど全く自信ない・・・

私も殆どパクりなので人の事は言えませんが一応載せておきます
↓引用元


親戚の子が来年受験する私立小学校の入試問題が解けません。
http://q.hatena.ne.jp/touch/1234286568


計算は後で頑張ります

確かに、「半径によって変わる」というより
「半径を工夫すれば点Aが半周するよりも前に並ぶ事が出来る」
というのは確認できました
しかしそれを数学的に条件を示せと言われると
自分には難しいです 浮かばない
面積やベクトルも使ってみましたが…



ところで
「半径が全て等しい場合、点Aの半周期よりも前に並ぶ事はない」
ことぐらいは小学生にも分かるように
簡単に説明しておきます
(ほぼ船の問題の答ですが)



４点の軌跡の半径が等しい時、その全てが同一円周上を動くことになります
ある時点でのAの位置を、原点を0°として、単にx°とすると、
他の点は2x°、3x°、4x°と表せます。

円周上の４点が同一直線上にある場合、
逆に円と交わるような直線を引き、その１つまたは２つの共有点が４点の場所に当たると考えると、

(1)４点の場所が一致
(2)３点の場所が一致
(3)２点の場所の一致が２組

の３通りしかない事になります。
すなわち必ずどこかとどこかの点が重ならなければいけません。

最初に２点が一致するのは、最も速いDが最も遅いAに一周差で追い付く時です。
これは

4x°-x°=360°

を解くことにより、Aの位置が120°の時と分かります。
しかしこのときB、Cの位置はそれぞれ240°、360°なので、(1)(2)(3)のどの条件も満たしません。

次に２点が一致するのは、AとD、もしくはBとCのどちらかの組がそれぞれ一周差で追い付く時と予想できます。
これは

3x°-x°=360°
4x°-2x°=360°

をそれぞれ解くことにより、どちらもAの位置が180°の時と分かります。
つまりこの時同時に２組の点が一致し、(3)を満たすことで、初めて４点が同一直線上に並ぶことになります。

続けて、
「４点が円の中心を通る一直線上に位置する条件は、それぞれの半径に関わらず一定である」
ことを示します。

Aの角度がxで、A周している時、
実際に成す角度はx-2πA
Bの角度が2xで、B周している時、
実際に成す角度は2x-2πB
但し、A、Bは整数で0≦A≦B

３点OABが一直線上にある時、Aの反対側にBがある場合にも注意すると、これは

x-2πA=2x-2πB

または

x-2πA=2x-2πB-π

と表せ、これにより

x=2π(B-A)

または

x=2π(B-A)+π

となるので、B-Aは0以上の整数であることより、
結局xはπの偶数倍または奇数倍、
つまりπの整数倍であれば、３点は一直線上に並びます。
xがπの偶数倍の時、４点が同一直線上で、円の中心に対して同じ側にあり、
xがπの奇数倍の時、２点ずつが円の中心に対して互いに反対側にあります。

同時に、xがπの整数倍でない時は、４点は円の中心を含む一直線を成さないので、
やはり初めて４点が円の中心を含む一直線上に並ぶのは、それぞれの半径に関わらずAの半周期後と言えます。

すなわち、
「４点の角速度の比が1:2:3:4で、その全てが円の中心を通る一直線上に並ぶ」という問題では、その半径に依らないことになります。



(そこのルールを明確に記さなかったからこのような難しい事態が起きるのですね。今後注意します)

＞りむじんさん
「半径を工夫すれば点Aが半周するよりも前に並ぶ事が出来る」というのは、実際に成立する図形を考えて、それが存在することを説明すればいいと思います。

「４点が円の中心を通る一直線上に位置する条件は、それぞれの半径に関わらず一定である」についてですが、
４点が円の中心を通る一直線上に位置する時は、それぞれの半径を変えてもその一直線上に位置するだろうし、逆に位置しない時は、それぞれの半径を変えても位置しないと考えれば、それぞれの半径には依存しないとわかると思います。

＞Jacobさん
多分間違っていると思っていたので、説明を割と雑に書いてしまいました(指摘されたところに限らず)。
読みずらかったと思います^_^;
追加説明と問3については後ほどお願いします。

前の解答について、数学的に厳密に解きました。
アプローチは全く違いますが・・・

問１は色々な方法で解けますし、行き詰まるところもないと思うのですが(などと言うと嫌われそうですが )、解答者が少ないのでヒントを出したいと思います。
面積や、直線の傾き、ベクトル等、様々に解き方はあると思います。今、
点A、B、Cを具体的にxy座標で表わし、ベクトルを使って問題を考えていきます。

例えば次のような座標を考えます。
A (r_a cos xt , r_a sin xt)
B (r_b cos 2xt , r_b sin 2xt)
C (r_c cos 3xt , r_c sin 3xt)

ABCが同一直線上にあるための必要十分条件は、
ACベクトル = k ABベクトル　(k は実数)

つまり、次が成り立つ。
r_c cos 3xt - r_a cos xt ＝ k ( r_b cos 2xt - r_a cos xt)
r_c sin 3xt - r_a sin xt ＝ k ( r_b sin 2xt - r_a sin xt)

このような　k が存在するためには、
(r_c cos 3xt - r_a cos xt)・(r_b sin 2xt - r_a sin xt) ＝ (r_c sin 3xt - r_a sin xt)・(r_b cos 2xt - r_a cos xt)　
でなければならない。式を整理すると、
r_ar_c(sin 3xt cos xt - sin xt cos 3xt) ＝ r_ar_b(sin 2xt cos xt - sin xt cos 2xt) + r_br_c(sin 3xt cos 2xt - sin 2xt cos 3xt)
加法定理を逆に使って、
r_ar_c sin 2xt ＝ r_ar_b sin xt + r_br_c sin xt …
この先は回答者様に考えて頂くとしますが、このように淡々と式を変形していけば無難に解けるのではなかろうかと個人的に思って居ります。

基本は三角関数ですが、問３は二次関数、問４は微分、問５は三次関数を意識して作った問題です。

問4以外の解答です。
見ていただけるでしょうか。