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このクイズの参加者（7人）
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 中学生のための数学(付録つき)
難易度：★
 河野真衣
2013/08/07 11:18
「小学生のための算数」が出題されていたので、「中学生のための数学」を。
『本題』 ⊿ABCで、各辺の長さは、AB = 4(cm)、BC = a(cm)、CA = 5(cm) です。 ∠CAB = 2∠BCA とすると a の値はいくらでしょうか? 「付録」中学生に聞いた「それ本当?」と言いたくなる話です。 ◎学校で、宿題が多過ぎると生徒たちが文句を言うので、先生が「これもみんな君たちのためじゃないか。昔から『可愛い子には旅をさせよ』というだろ?」と言ったら、普段あまり宿題などしないS君が「先生は時代遅れです。今は『可愛い子には…させよ』ですよ。」と言い返し、他の生徒も皆「そうだそうだ」の大合唱。先生は渋い顔をして宿題の量を半分位にしてくれたそうです。 さて、S君は「可愛い子には【……】させよ」と言ったのでしょうか?
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回答募集は終了しました。
河野真衣
「本題」正解です。目のつけどころが私と同じでした。
 それにしても暑いですねぇ。
河野真衣
付録正解 ! その通りです。
河野真衣
本題、付録、どちらも正解です。
河野真衣
本題、どういう答えの出し方をされたのか分りませんが、違っているようですよ。
①
∠Aの二等分線とBCの交点をDとすると BD：DC＝AB:AC＝4:5より BD＝4/9a また∠BAD=∠CAD=∠ACD、 ∠BAC=∠BDA すなわち△ABCと△DBAは相似 相似比はBC:BA＝a:4 AB:DB=a:4 4:4/9a=a:4 整理して計算するとa^2=36 a=6 (∵a>0) ②(酷い解法) 余弦定理から cos∠A =(16+25-a^2)/(2×4×5) =(41-a^2)/40 cos∠C =(25+a^2-16)/(2×5×a) =(9+a^2)/10a また、∠A=2∠Cなので 倍角の公式より cos∠A=2(cos^2∠C)-1 これに上記のcos∠A、cos∠Cを代入 (41-a^2)/40=2((9+a^2)^2/100a^2)-1 整理して、a^2=Aとおくと A^2-37A+36=0 (A-36)(A-1)=0 A=36,1 a=6,1 (∵a>0) a=1のとき、cos∠A=1、cos∠C=1 ∠A=∠C=0なので、不適 ∴a=6 
②の解法の方が先に出てきたというのはここだけの話。
河野真衣
本題、正解です。暑い中、2つの解法お疲れ様でした。
私は中学生向けに①のやり方をしていました。
河野真衣
付録、S君が言ったこととはちょっと違うようです。
a=6
1.スチュワートの定理を使用 2.余弦定理＋cosの倍角公式
長文書いてLIBだと嫌になるので（というか既にこの問題だけで2回）結果と指針のみ
河野真衣
LIBをくぐり抜けてのご参加有難うございます。本題正解です。
回答は結果と指針だけで十分です。 |
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