例題で具体的に検討してみます。

まず13桁の数 3532979532334から 4,34,334,2334,・・・というように下n桁（0<n<14）の数を13個作ります。

それぞれを13で割ってみると、余りは 4,8,9,7,3,10,6,11,1,12,8,0,5となります。
このうち余りが0のものは割り切れるので題意を満たします。この例では532979532334が13で割り切れます。

では、もしどの数も13で割り切れなかったとすると、余りは（13で割るので）多くても1〜12の12通りです。
ところで、13個の数ですから、余りの数も13個あるので、少なくとも１つは同じ余りの数があるはずです。
この例では、たまたま34と32979532334が余りが8となり、同じ余りを持ちます。

そこで、大きい方の数32979532334から小さい方の数34を引いてみると 32979532300という
数ができます。これは13で割って同じ余りになる数同士を引いたものなので、13で割り切れます。

（ここはmodで説明すると簡単なのですが、例えば 7も4も3で割ると1余りますが、(7-4)が3で割り切れることは

(7 - 4)÷3 = (7÷3) - (4÷3) = (2 + 1/3) - (1 + 1/3) = 1

となって、余り同士が消えるということで納得していただけると思います。）

さて、さきほどの 32979532300という数は 329795323×100ですが、100は13で割り切れないので 329795323が13で割り切れるということです。この数字は最初の数 3532979532334の上から3桁目から連続する9つの数字を取ったものに他なりません。

一般解も同じようにして説明できるので、省略させていただきます。
説明が下手ですみません。

なるほど、必ず余り（mod）が重なるということですか、
下手なんてとんでもないです。よく分かりました。

そしてやはり私が修行不足なことも分かりました
精進しますですます。お付き合いThanks!