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河野真衣
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このクイズの参加者（5人）
算数・数学クイズ
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５cm
正方形の１辺の長さをpとして，４点A，B，C，Dの座標をそれぞれ A(0,p),B(0,0),C(p,0),D(p,p)とする。 また，E(x,y)とすると，題意より x^2+(y-p)^2=49 …① x^2+y^2=25 …② (x-p)^2+y^2=1 …③ ①＋③－②より (x-p)^2+(y-2)^2=25 となるので DE^2=25 よって DE=5 
どうだっ！
河野真衣
お見事! 正解です。
 書いて頂いた説明文中の最後の式で、(y-2)^2 となっているのは、(y-p)^2の間違いですね。「どうだっ !」のついでに、この正方形の一辺の長さも求めてみてくださいね。 
河野真衣
正解です。
お説のような定理があれば、計算に苦労することもないんですが。
点Eから辺AB、辺ACに平行な直線を引き、正方形を4つの長方形に分割する。
ASD PER BQC 三平方の定理より、 AE^2＋CE^2 ＝ (AS^2 + AP^2) + (CQ^2 + CR^2) BE^2＋DE^2 ＝ (BP^2 + BQ^2) + (DR^2 + DS^2) 長方形の対辺の長さは等しいので AS＝PE＝BQ、BP＝QE＝CR、CQ＝RE＝DS、DR＝SE＝AP よって AE^2＋CE^2 ＝ BE^2＋DE^2。 AE^2＋CE^2 ＝ 7^2＋1^2 ＝ 50 BE^2＋DE^2 ＝ 5^2＋DE^2 ＝ 50 DE＞0なので、DE＝5cm
面白い問題だ。
河野真衣
正解です。
丁寧なこ゜説明ありがとうございます。 ただ、説明文の一行目「辺ACに平行な…」は「辺BCに平行な…」の書き間違いだと思いますが。
EとABの距離をy,EとBCの距離をx,正方形の一辺の長さをaとする。
x^2+y^2=25 ･･････① x^2+(a-y)^2=1 ･･････② (a-x)^2+y^2=49 ･･････③ ②+③と①より、a=x+y よって、AECは正方形の対角線上にあるので、DE=BE=5cm おまけ、a=8/√2=4√2
どうでしょう？
河野真衣
正解です。 正方形の一辺の長さもokです。
AE^2+CE^2 = BE^2+DE^2
から DE^2 = 7^2+1^2-5^2 = 25 より DE=5cm DE=CEから点A、点E、点Cが同一直線上にあることが分かる。対角線の長さが8cmの正方形の一辺の長さは、4√2cm AE^2+CE^2 = BE^2+DE^2の証明も必要でしょうか？
こんなのでどうでしょうか？
河野真衣
辺DEの長さ、正方形の一辺の長さ、両方共大正解 !
証明は書いて頂かなくても結構ですよ。
回答有難うございました。答えです。
長方形ABCDの一辺の長さをa(cm)とし、頂点Aを原点とする直交座標を考えると、各頂点の座標は A(0,0) B(a,0) C(a,a) D(0,a) となり、点Eの座標を(p,q)とすると、三平方の定理より、 AE^2=p^2+q^2(=49), BE^2=(a-p)^2+q^2(=25), CE^2=(a-p)^2+(a-q)^2(=1) が成り立ちます。 DE^2=p^2+(a-q)^2=(p^2+q^2)-{(a-p)^2+q^2}+{(a-p)^2+(a-q)^2}=49-25+1=25 よって、DE=5(cm) 尚、この正方形の一辺の長さは4√2(cm)です。→ EがAC上にあることがわかるので、対角線の長さは(7+1)=8(cm) → 8/√2=4√2 |
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