ヒミツ

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１５０度

細かい部分を省略しながら、おおまかな流れだけ。
△ABP合同△QBPとなる点Qを正五角形の内部にとると、
△QBCは正三角形、△QAB,△QCDは二等辺三角形となり、
角AQD=１６８度とわかる。
したがって、「円周角の定理の逆」で、
３点A,P,Dは点Qを中心とする円周上にあるとわかり、
△APQが正三角形であるとわかります。

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座標平面上に
A(-1,0) D(cos(12),sin(12))をとる。
AB の傾きは -tan(66)
BD の傾きは tan(42)
（計算省略）
B の座標は (-1/2,-tan(66)/2) となる
AOD=168 なので P は単位円上にある。
ABP=24 なので BP はY軸に平行。
P の座標は (-1/2,-r(3)/2) である。
よって APB=150

五角形の内部に
AB=BC=CD=BO=CO となる O をとる。
ABO≡DCO なので AO=DO
BAO=BOA=COD=ODC=66 なので ADO=AOD=6
BCO=60 OBA=48 より BP は ABO の二等分線
ABO の内部に AO=QO=AQ となる Q をとる
AO=DO=QO なので ADQ はOを中心とする円上にある。
Q は ABO の二等分線上にあり AQD=84 を満たすので P=Q
よって APB=150

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角APB=150度です。

五角形内部に三角形BCQが正三角形になる点Qを置く。

三角形ABPと三角形QBPにおいて、
角ABP=角QBP=24度、BA=BQ、辺BPは共通で、三角形ABPと三角形QBPは合同な三角形であるから、角APB=角QPB。
且つ、三角形APQが正三角形(後述)であることから、角APQ=60度。

よって、
角APB=(360度-角APQ)/2 = 150度

これ以降の証明は三角形APQが正三角形になることを示すものです。

三角形ABQは頂角Bの二等辺三角形であり、
三角形ABQと三角形DCQにおいて、
AB=CD,BQ=CQ,角ABQ=角DCQ=48度より
三角形ABQと三角形DCQは合同であるので、AQ=DQ且つ角AQB=角DQC=66度。

角AQB=角DQC=66度、角BQC=60度より、角AQD=168度。

AQ=DQ,角AQD(168度) = 2×角APD(84度)より
点Qは三角形APDの外心であるから、AQ=PQ。
また三角形ABPと三角形QPBが合同であることから、AP=PQ。
よって、AQ=PQ=APとなり、三角形APQは正三角形であることが示された。