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このクイズの参加者（5人）
算数・数学クイズ
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 絶対に値を見つけてね。
難易度：★
 河野真衣
2013/04/11 19:14
ちょっと古いような気もしますが、たまには絶対値を使って。
【問題】 xは整数で、y=│x-1│+│x-3│+│x-5│+│x-7│+ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ +│x-93│+│x-95│+│x-97│+│x-99 │ であるとき、yの最小値はいくらになりますか? x≦0 のとき、y=2500が最小値(x=0のとき)になり、x≧100のときも、y=2500が最小値(x=100)になることは直ぐ分かります。 では、1≦x≦99 のとき、yの最小値はいくらになるでしょう? 最小値とそのときのxの値を求めて下さい。
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回答募集は終了しました。
河野真衣
丁寧な回答有難うございます。 最小値とxの値、両方共バッチリ正解です。
河野真衣
最小値は合ってます。 xの値もお答えくださいね。
河野真衣
xはこれだけでしょうか? もうちょっと突っ込んでもらうとね。
河野真衣
正解です。 計算ミスってませんよ。
河野真衣
これで正解です。
河野真衣
ピッタリ正解です。
習ってないことも自分で勉強したんですね、
河野真衣
最小値は合っているのですが、xの値はお答え以外にも…。
回答有難うございました。答えです。
・xが偶数のとき(x=2m, mは 1≦m≦49の整数) y=［(2m-1)+…+｛2m-(2m-1)｝］+［｛(2m+1)-2m｝+…+(99-2m)］ これを整理して、y=2m^2-100m+2500=2(m-25)^2+1250 よって、yはm=25(x=50)で最小値1250となる。 ・yが奇数のとき(x=2m+1, mは 0≦m≦49の整数) y=［｛(2m+1)-1｝+…+｛(2m+1)-(2m+1)｝］+［｛(2m+3)-(2m+1)｝+…+｛99-(2m+1｝］ これを整理して、y=2m^2-98m+2450=2(m-49/2)^2+2499/2 よって、yはm=24又は25(x=49又は51)で最小値1250となる。 以上をまとめると、yの最小値は1250, そのときのxの値は49or50or51。
なるほど、偶数奇数で分けて関数にするのですね！
一応自分の考え方も示しておきます…  【Ｘ】を絶対値の記号とします 【Ｘ】という値はつまり 「Ｘを数直線上に置いた時の原点からの距離」なので 【Ｘー１】は「Ｘから１までの距離」と考えることができます 【Ｘー１】＋【Ｘー９９】の値を最小にするには 「Ｘから１の距離とＸから９９の距離の和」が最小になればいいので くどめに言うと、例えば 家Ａから１キロ離れた所に家Ｂがあるとします この直線ＡＢ上にバス停Ｐを置いて、 二つの家との距離の和、すなわちＡＰ＋ＢＰの値を最小にする事を考えると、 ＰがＡとＢの間にあれば明らかに距離の和は小さくなります また、この時ＰがＡＢ間のどこにあっても 距離の和ＡＰ＋ＢＰは必ず１キロになります この事から、【Ｘー１】＋【Ｘー９９】の値を最小にするには Ｘが１と９９の間にあればよく、その中ならどこにＸがあっても 値は必ず９８になります 同様に、【Ｘー３】＋【Ｘー９７】の値を最小にするには Ｘが３と９７の間にあればよいのですが、 これは上で求めた範囲に含まれるので、上の最小値も保たれたまま、 値は必ず９４になります これを続けていくと、Ｘが４９と５１の間にある時に 【Ｘー４９】＋【Ｘー５１】が最小になり、 値は必ず２になります 以上のことから、Ｘが４９と５１の間にあれば 必ず部分部分が最小になるので、その全体の和も最小になり、 その和は９８＋９４＋９０＋…＋２＝１２５０となります |
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