ヒミツ

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4人をP,Q,R,Sとして、Pから見たときに、Qが遠くに、RとSの2人が近くにいると仮定する。4人のうちの任意の2人の間の距離にはPQ,PR,PS,QR,QS,RSの6通りがあるが、PQ≧b,PR≦a,PS≦aと仮定したから、Qを中心に見れば、QP=PQ≧bよりQR≦a,QS≦aでなければならない。Rを中心に見れば、RP=PR≦a,RQ=QR≦aよりRS≧b、同様にSを中心に見ればSP=PS≦a,SQ=QS≦a,SR=RS≧bでなければならない。つまり

PQ,RS≧b
PR,PS,QR,QS≦a

であればよい。

Pを中心に半径aの円Pを描くと、その中にR,Sがいる。Qを中心に半径aの円Qを描くとやはりR,Sがその中にいなければならない。したがって円P,Qは共通部分を持ち、その中にR,Sが存在するほかない。PQ≧bだったから、円P,Qが共通部分を持つためには2a≧b、つまり「a≧b/2」でなければならない。
PQがb以上離れており、円P,Qの共通部分DにR,Sがいれば、満たすべき式のうち
PQ≧b,PR≦a,PS≦a,QR≦a,QS≦a
の5つが成り立つ。あとはRS≧bである。RSは前述のよう共通部分D内しか動けないから、この内部に距離b以上の2点が取れればよい。共通部分D内で最も遠い2点は円P,Qの2共有点である。よってその2点間の距離がb以上であれば4人は指示された位置関係を取ることができる。

円P：x^2+(y+c/2)^2=a^2
円Q：x^2+(y-c/2)^2=a^2
ただしc≧b
として、この2共有点の座標を求める。辺々の差をとって
(y+c/2)^2-(y-c/2)^2=0
⇔2cy=0
∴y=0
この時
x^2+c^2/4=a^2
∴共有点の座標は(√(a^2-c^2/4),0),(-√(a^2-c^2/4),0)で、その距離は2√(a^2-c^2/4)である。

よって2√(a^2-c^2/4)≧bであれば、共通部分D内に距離b以上の2点が取れ、その2点にR,Sが位置すれば指示されたの位置関係が構成される。まとめると、

最初から与えられた条件：a≦b
円P,Qが共通部分を持つための条件：b/2≦a
円P,Qの中心がb以上離れているための条件：c≧b
共通部分D内にb以上離れた2点をとれるための条件：2√(a^2-c^2/4)≧b

を全て同時に満たす(a,b,c)の組に対しては指示された位置関係を取ることは可能ということである。今求めたいのは適切なcが存在するような(a,b)の組である。(a,b)をa≦b≦2aの条件下で任意に定めるとき、cの満たすべき関係式は
c≧b
2√(a^2-c^2/4)≧b⇔c≦√(4a^2-b^2)
である。このようなcが存在するには
√(4a^2-b^2)が実数であり、かつb≦√(4a^2-b^2)
であればよいが前者はa≦b≦2aから保証されているので改めて考える必要はない。

したがって
a≦b≦min{2a,√(4a^2-b^2)}=√(4a^2-b^2)
であれば指示された位置関係を構成することは可能。

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