まずは問1です。
問2は計算が大変そうですね

なんかとんでもない式が出た
公式に入れただけだけど合ってるかなぁ・・・

両方合わせて。

既視感があると思ったら、かなり昔の数学オリンピックに似たような問題があった。

これよりずっと簡単だったけど。

前回は数式のコピーミスをしてました
一応計算方法も書いておきます。
一般式も頑張って計算しました

まずは勘！

問題の捉え方が間違ってると意味がないので、取り敢えず、N=1,2,3を。
ややこしくて、OG(GはgirlのGです)には大変ですが、これで○なら残りを考えます
うっかり名前の表記を間違えました。名前の「埜」は要りません。

○を頂いたので、N=4,5,6を。　中学生に「よくやるねぇ。頑張ってね。」と冷やかし半分、励まされました。自分はできないくせに生意気な。　
これが○ならゴールは間近。

N=4のときはこれでどうでしょう?
それにしても齢は取りたくありませんねえ。集中力が続かないわ。

N=5。　主人が、もし答えが合ってたら、(N=5の通り数)×10(円)の賞金を出すよと言ってます。春用に欲しい洋服があるので、殆んど寝ずに数えました。
N=5が◎なら、N=6もやろうかなあと言ったら破産しそうだから止めといてだって。
さて、どうなることやら。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ↓
一度誤答をしたお蔭でタナボタで賞金が手に入り、昨日デパートへ行って来ました。欲しかった物を買ってしまうと、ややこしい式や数字をいじり回すのが急に面倒になり、この辺で白旗を掲げて撤退することにしました。お手数をおかけしました。

ここまで合ってますか？

隣接三項間に持ち込むと無理数出ませんか？

途中で消えたりするのでしょうか？

一応、漸化式解いてみましたが、
合っている気がしません。
どうでしょうか？

単純に！！！これで合ってる？？？

これでどうでしょう？
説明を囁こうとしたらかなりの長文になりました。

大分時間が開いてしましたが 、そろそろ解答を発表しようと思います。

とりあえず大まかな方針を。
今、題意を満たすような３行Ｎ列のマスの塗り方の総数を c_n で表わすとします。
このうち、ｎ列目の色の塗り方が、�@上の行と下の行が同じ色であるもの「赤青赤、緑赤緑など」の総数を a_n とします。またｎ列目の塗り方が、�A全て異なる色であるもの「赤青緑、青赤緑など」の総数を b_nとします。

どのような列の塗り方も�@か�Aに分類出来ますので、c_n = a_n + b_n が成立します。
そんでもって、a_n , b_n , a_n+1 , b_n+1 について成り立つ関係式を考えていきます。

n列目の色の塗り方が�@の場合、例えば「赤青赤」であれば、
n+1列目の色の塗り方としてあり得るのは、�@の塗り方が３通り「青赤青、青緑青、緑赤緑」
�Aの塗り方が２通り「青赤緑、緑赤青」あります。
同様に考えてn列目の色の塗り方が�Aの場合、n+1列目について�@の塗り方が２通り、�Aの塗り方が２通りあります。

故に
a[n+1] = 3*a[n] + 2*b[n]
b[n+1] = 2*a[n] + 2*b[n]
が成り立つ。
初項は、数え上げて、a[1] = 6 , b[1] = 6

問１はこの関係式により、順次 a[2], b[2], a[3], b[3] を求めていき、後からa[n] と b[n]を足せば良い。」。
問２は「連立漸化式の解き方」等で調べて貰えれば色々乗ってますので放り投げ(ﾉ´□｀)ﾉ

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問１
N=1：12
N=2：54
N=3：246
N=4：1122
N=5：5118
N=6：23346

問２： 6{(4+√17)*(5+√17)^(N-1)-(4-√17)*(5-√17)^(N-1)}/(√17*2^(N-1))