問1だけ。

問1.と問2.です。説明が簡単に過ぎるかも知れませんが、考え方はこれでどうでしょうか?　 問3.は「黄色いサクランボ」状態。問1,2の採点結果を見て考えます。

正月休みがつぶれそうだ。

問.3です。これでどうでしょうか?　
間違えると生意気な中学生にお年玉の追加を取られるので何とか…。

この問題はあまり引っ張る気がないので、今週末ぐらいに解答を発表しようと思います。思いのほか回答者が少ないため、もう少しヒントを出しておきます。

問１：(a - [整数]) × (b - [整数]) ＝ [整数]　　の形に式を変形すると、分かり易いはず。

問２：提示した式の両辺に何か操作をすると、問１とほぼ同様の議論が出来ます。

問３：ある整数に 11 や 61 を何度掛けても 1 の位の数は変わらない、ことに着目。

問１だけ

問２だけ

おわり

みおとしてました^^;

他のもできたけれどもあさっての解答の可能性もあるのでとりあえず問１だけ

何年ぶりかにまじめに数学を解きました。

問１：
1/a ＋ 1/b ＝ 1/2013　　両辺に ×2013ab
2013b ＋ 2013a ＝ ab　　
ab − 2013(a ＋ b) ＝ 0
ab − 2013(a ＋ b) ＋ 2013^2 ＝ 2013^2
(a − 2013)(b − 2013) ＝ 2013^2

これより、(a − 2013) と (b − 2013) は 2013^2 の約数であることが解かる。
今、x が 2013^2 の約数であるとすると、a と b は以下のように書ける。
a ＝ 2013 ＋ 2013^2/x
b ＝ 2013 ＋ x

2013^2 ＝ 3^2・11^2・61^2 であるから、a も b も正の整数となるような x は、
x ＝ 3^(n1)・11^(n2)・61^(n3) (n1、n2、n3 は 0、1、2 いずれかの整数) であり、
計、3 × 3 × 3 ＝ 27 通りある。このうち、a ＝ b となる解が１つあり、
残りのうち a ＞ b となるものと、 a ＜ b となるものが半々ずつあるから、
題意を満たす(a, b) の組み合わせは 13 通りである。

そのうち a, b, 2013 の３つの数の最大公約数が 1 となるものは、
x ＝ 1,　3^2,　11^2,　3^2・11^2 のときであって、(a, b) を書き下せは、
(a, b) ＝ (4054182, 2014), (452254, 2022), (35502, 2134), (5734, 3102)
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問２：
1/a ＋ 1/b ＝ 10/2013　　の両辺を 10 で割れば、
1/10a ＋ 1/10b ＝ 1/2013　　A＝10a, B＝10b と置くと、
1/A ＋ 1/B ＝ 1/2013　　(A, Bは 10 の倍数)

問１のときと同様に式を変形すると、
A ＝ 2013 ＋ 2013^2/X
B ＝ 2013 ＋ X
と書ける。今、A も B も整数であるから X は 2013^2 の約数でなければならず、
その内、A と B が共に 10 の倍数となるようなものはないので、
条件を満たすような (a, b) の組合わせは存在しない。
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問３：
問２と同様に、A＝10a, B＝10b と置いて式を変形すると、
A ＝ 2013^10 ＋ 2013^20/X …�@
B ＝ 2013^10 ＋ X …�A

A と B は正の整数であることから、少なくても X は 2013^20 の約数であり、
X ＝ 3^(n1)・11^(n2)・61^(n3)…�B (n1,n2,n3 は整数で、0≦n1, n2, n3≦20 )
の 21×21×21＝9261 通りに絞られる。この内、A と B が10の倍数になるものを探す。
ここで、�B式を�@と�Aに代入して次のように式を纏めておく。
A ＝ 2013^10 ＋ 3^(20-n1)・11^(20-n2)・61^(20-n3)
B ＝ 2013^10 ＋ 3^(n1)・11^(n2)・61^(n3)

以下、s ≡ t (mod n) は s を n で割った余りと t を nで割った余りが等しいことを意味する。
2013^10 ≡ 3^10 ≡ 9 (mod 10) であるから、
3^(20-n1)・11^(20-n2)・61^(20-n3) ≡ 3^(n1)・11^(n2)・61^(n3) ≡ 1 (mod 10) …�C
でなければならない。

11 ≡ 1 (mod 10),　61 ≡ 1 (mod 10),　3^(4m) ≡ 1 (mod 10)
3^(4m+1) ≡ 3 (mod 10),　3^(4m+2) ≡ 9 (mod 10),　3^(4m+3) ≡ 7 (mod 10) であり、
また s1 ≡ t1 (mod n), s2 ≡ t2 (mod n) ならば、s1・s2 ≡ t1・t2 (mod n)
が成り立つことに注意して、式�Cを満たすn1, n2, n3の値を考えると、

(0≦n2, n3≦20), (n1＝0,4,8,12,16,20) の 21×21×6＝2646 通りあることが解かる。
この内、a ＞ b となるものと a ＜ b となるものが半分ずつあるので、条件を満たすものは 1323通り。

そろそろロックします。御不明な点などあれば早目にお申し下さい。