1.奇数の平方は奇数である。A,B,Cすべてが奇数であるとすると、与式の左辺は偶数、右辺は奇数となり、成立しない。したがってA,B,Cの内、少なくとも一つは偶数である。

2.自然数nの平方を5で割った余りをnmod5のように表し、nの1の位の数をn1のように表すとする。nの平方の1の位の数はn1によって決まるので、nmod5はn1で決まる。n1が5、0のときnmod5=0、n1が2、3、7、8のときnmod5=4、n1が1、4、6、9のときnmod5=1である。nmod5=0となるのはnが5の倍数の時だけである。与式が成立するためには、(Amod5+Bmod5)を5で割った余り=Cmod5となる必要がある。そのようになる組み合わせは、(Amod5,Bmod5,Cmod5)=(0,0,0)、(1,4,0)、(4,1,0)、(4,0,4)、(0,4,4)、(1,0,1)、(0,1,1)しかなく、Amod5、Bmod5、Cmod5いずれかは0でなければならない。したがって、A1,B1,C1の内、少なくとも一つは5の倍数であり、A,B,Cの内、少なくとも一つは５の倍数である。

少し書き方のおかしいところもありますが、ご容赦を。

「ＡとＢがともに奇数ならばＣは偶数である。」を証明しようとして、ふと思い立ってちょっと計算したら、ＡとＢがともに奇数になることはないことがわかってちょっとびっくり。

流石ですね。正解です。。