こっちか

この路線ではないのか

お邪魔します♪
ちがうでしょうが。。。汗

力技で解きました。

こんな惨状。。。泣

あああ、恥ずかしい。

これでどう？

おもしろい問題だ。でも、まだ本質が分かっていないかも。

>>9のコメントに対するコメントです。
正解発表後に囁きオープンしていただけると嬉しいです。
大変面白い問題をありがとうございます。とても楽しめました。

勘であたりをつけただけですが

重要な１行を読み飛ばしてました

ずばっと解決なるか？ 　↓・・・ 。

答えがいくつか出てきてしまったのですが、私何か勘違いしてますかね ？

かってに君はこれ？ No.14の囁きに書いた他の x だと何が駄目なんだろう… ？

申し訳ありません。問題に不備がありました。
a,b,xの三乗番号の1の位の数字は2ではないという条件を追加しました。

追加条件でわかった気がするが

魔雨さん、はじめまして。
中学生がやってくれたんですが、どうなんでしょう? 部屋数に制限がないということですが、それにしても…。

ヒントを出しておきます。

任意の自然数xについて、xとx+1000の三乗番号は一致します。
仮に部屋番号が1から2000の2000個であった場合、
1≦x≦1000であれば、部屋番号x+1000が存在し、
1001≦x≦2000であれば、部屋番号x-1000が存在します。
ですのでこの場合は「他に同じ三乗番号を持つ部屋がないような部屋もあります」という条件を満たしません。
同様にしてn＜2000であることが分かります。

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9を三乗すると1の位の数字はそれぞれ0,1,8,7,4,5,6,3,2,9となり、すべて異なります。
部屋番号と三乗番号の1の位の数字は一対一に対応します。
a,b,xの1の位の数字はすべて等しく、b-aは10の倍数です。
c=b-aとすると、
b^3-a^3=(b-a)(b^2+c^2+ab)=(b-a)((b-a)^2+3ab)=c(c^2+3ab)
と書けます。
b^3-a^3は1000の倍数ですので・・・

1ページ目から消えましたので近日中に正解を発表したいと思います

ちょっと突っ込んでおくと、

　＞xの1の位の数字が2の場合
　＞250間隔で三乗番号が等しくなりますので、b-aは250の倍数です。
　＞また、x=250k+2と書けます(kは自然数)

のところですが、x=250k+12(kは自然数) とか x=250k+172(kは自然数) など
というパターンだってある訳ですよね？その辺がいい加減になっている気がします。

　＞xの1の位の数字が8の場合
　＞三乗番号の1の位の数字は2となりますので不適です。
　＞(出題時は上と同様にして不適と思ってしまいました。すみません)

ということですが、x=250k+8(kは自然数) だけを考えているところに
穴があったのだと僕には思えるのですが、間違ってないでしょうか。

一応、最初の出題に対する x の解は No.14 で全てのはずですので、
No.14 の囁きも空けておいてくれると幸いです。(a,bのパターンは一例)

改訂版です。

A=a^3,B=b^3,c=b-a=n-1とします。
B-A=(b-a)(b^2+c^2-ab)=(b-a)((b-a)^2-3ab)=c(c^2-3ab)

a,bの1の位の数字が5の場合
c^2は偶数なのでc^2-3abは奇数です。
B-Aは1000の倍数なので、cは8の倍数でなくてはいけません。
cは10の倍数でもありましたので、40の倍数と分かります。
逆にcが40の倍数の場合、c^2-3abは25の倍数ですので、B-Aは1000の倍数になります。
1の位の数字が5の部屋番号は40間隔で同じ三乗番号になっています。
差が40の倍数でないときは三乗番号は異なります。
5,15,25,35に対応する4種類の三乗番号が存在します。

a,bの1の位の数字が5以外の奇数の場合
c^2-3abは2の倍数でも5の倍数でもありませんのでcは1000の倍数でなくてはいけません。
この場合は1000間隔で同じ三乗番号となります。

a,bの1の位の数字が0の場合
三乗番号は常に0です。
10間隔で同じ三乗番号になります。

a,bの1の位の数字が0でない偶数の場合
c^2は5の倍数、3abは5の倍数ではありませんので、c^2-3abは5の倍数にはなりません。
c(c^2-3ab)は1000の倍数であり、1000は5^3の倍数なので、cは5^3の倍数でなくてはいけません。
cは10の倍数でもありましたので、250の倍数ということになります。
逆にcが250の倍数の場合、B-Aは1000の倍数になります。
aとbの差が250の倍数のときは三乗番号が等しく、そうでないときは三乗番号は異なります。
250間隔で同じ三乗番号になっています。

他の場合はありません。


xの1の位の数字が0の場合、三乗番号が0となるので不適です。
xの1の位の数字が2の場合
250間隔で三乗番号が等しくなりますので、b-aは250の倍数です。
x=10k+2と書けます(kは整数)
x≧a+250＞250ですので、k＞24です。
n-1=b-a、x+2=10k+4ですので、
n-1は250と10k+4のどちらでも割り切れます。
10k+4=2(5k+2)
5k+2は2の倍数でも5の倍数でもありませんので、
n-1は250(5k+2)の倍数でなくてはいけません。
250(5k+2)＞6500ですのでnは2000以上となり不適です。
同様にして、xの1の位の数字が4,6の場合も不適です。

xの1の位の数字が8の場合
三乗番号の1の位の数字は2となりますので不適です。


xの1の位の数字が1,3,7,9の場合
1000間隔で三乗番号が等しくなりますので、n≧2000となり不適です。

以上よりxの1の位の数字は5と確定します。
三乗番号は40間隔で等しくなります。
x=10k+5とします(k>3)
n-1は40(10k+7)の倍数です。
k=4のとき、40(10k+7)=1880
k=5のとき、40(10k+7)=2280
n＜2000ですので、k=4,n-1=40*47=1880と確定します。
a=5,x=45,b=1885,n=1881となります。
問題の条件をすべて満たしますので、x=45が答えです。