まだあるとおもいますがとりあえず。

それとも僕の問題解釈に誤りがあるのでしょうか。

10000とおりくらいある？

>但し、a.b.c.d.e はすべて2桁の自然数で、a<b<c<d<e とします。

ここまでの条件なら、2588組。


>追加条件→ a:b:c:d:eが2:4:5:6:9にならないような解をお願いします。

この追加条件を加えると、7組が除外されて、2581組。


だと思うのだけれども、あってるかしら！？
河野様の出題、楽しいわぁ。


昔、鉄子は算数問題の出題してたけど、また出題してみよおかなぁ。
最近は、出題の制限かかっているみたいだけど、
出題できる人たちは、いいなぁ〜。

すでに組数について書き込みがあるのですが、
僕自身の好奇心からプログラムを組んで調べたのですが、
2:4:5:6:9のものを含め（44,46,50,57,99）が限界で
確かに２５８８個でした。
ちなみに、a^3+b^3+c^3+d^3=e^3を満たすものは
（48,57,66,71,98）が限界で１４９個でした。
何か規則性があるのではないかと観察しているのですが、
みつかりません。

問題と関係ない 見えてきた性質

まず，0<a<b<c<d<e<xでかつa^2+b^2+c^2+d^2=e^2となるような解の総数をc(x)と書く事にします．また，xが1だけ増加した時の解の総数の増分をi(x)=c(x)-c(x-1)と定義します．

各xに対してi(x)の変化を観察すると次の二点が見えてきます．

予想A.i(x)はxが4の倍数の時，周囲と比較して小さい値をとり，16の倍数の時，極端に小さな値をとり，32の倍数の時，0をとる．
予想B.xを素数に限定してi(x)を並べると，単調増加性を示す．

具体的にi(x)の値を順に並べてみます．ただし，i(x)が意味を持つのは，解が存在するx=9からなので，初項はx=9に対応します．赤字は周りに比べて小さい数字を表しており，これが周期的に現れます(xが16の倍数の時には極端に小さな値が並ぶ)．下線はxが素数の場合の値です．

1,0,1,0,2,1,5,0,4,4,5,0,10,4,7,0,
11,7,17,1,13,17,15,0,29,13,27,4,23,17,41,0,
29,35,32,4,66,24,38,0,47,35,73,7,50,56,73,1,
91,42,63,17,68,49,125,0,103,93,83,13,133,86,93,4,
100,73,191,17,139,130,117,0,186,91,130,35,180,101,216,4,
151,207,195,24,247,120,224,0,181,149,311,35,196,227,204,7,
442,156,221,56,230,226,356,1,248,284,328,42,432,196,337,17,
312,211,440,49,377,393,315,0,484,315,336,93,421,257,667,13,
369,414,380,86,578,288,477,4,528,308,715,73,438,587,450,17,
739,431,603,130,488,361,739,0,615,576,527,91,1069,400,553,35,
611,548,919,101,595,665,873,4,919,463,638,207,653,599,983,24,
865,761,815,120,1239,684,728,0,745,554,1479,149,776,957,792,…


う〜ん、奥にはどんな理論があるのでしょうかねぇ．特に予想Bが正しいとなると素数論と結びつく非常に興味深い事実なのですが，個人的には．

回答有難うございました。
コンピューターを使って解を求めた人によると、この問題の解は(2588-7)=2581通りあるようです。手計算で求めるとすれば、以下のような等式のx,yに適当な1桁の正整数を代入すれば20個くらいは容易に見つかります。
・(x^2)^2+(xy)^2+(3xy)^2+(5y^2)^2=(x^2+5y^2)^2
・(x^2)^2+(xy)^2+(5xy)^2+(13y^2)~2=(x^2+13y^2)^2
・(x^2)^2+(3xy)^2+(5xy)^2+(17y^2)^2=(x^2+17y^2)^2
・(x^2)^2+(3xy)^2+(7xy)^2+(29y^2)^2=(x^2+29y^2)^2
・(x^2)^2+(5xy)^2+(7xy)^2+(37y^2)^2=(x^2+37y^2)^2
・(3x^2)^2+(3xy)^2+(9xy)^2+(15y^2)^2=(3x^2+15y^2)^2
・(5x^2)^2+(7xy)^2+(9xy)^2+(13y^2)^2=(5x^2+13y^2)^2
他に手計算で簡単に求める方法があればご教示ください。

>>6 http://quiz-tairiku.com/q.cgi?mode=view&no=16668&#6

No.6の朱雀様の出題は、以下に書いた通りの条件でよろしいのかしら？
自信ないけど、鉄子、ガンバル、バル、バル！
あってるといいなぁ〜。

_{でも、ここのスレッド河野様の所なのよね。
　　　　　　ここに書き込みしてよいのかしら？
　　　　　　「河野様は優しいから大丈夫よ！」と、かってに思いつつも、
　　　　　　内心ヒヤヒヤしながらの書き込みです。
　　　　　　もしまずかったら、この書き込み消してくださね！
　　　　　　河野様、よろしくお願いします。}
　　　　　　http://quiz-tairiku.com/r.cgi?mode=mente2&f=16668&no=9

Q今度は5平方? その2

朱雀 2012/10/14 01:04　　　　　　　　　　難易度:？　　Ｙ

a^2+b^2+c^2+d^2=e^2 が成り立つような(a.b.c.d.e)の組は何組。
但し、0<<a<b<c<d<e<xで、a.b.c.d.e はすべて自然数、xは512。


　　　　　　　　この式の予言するところによると、
　　　　　　　　x=512では、解は100万通り弱となります。
　　　　　　　　どなたか検証できないでしょうか。
　　　　　　　　(私のアルゴリズムでは悪効率で大変時間がかかる)

　┗A_{はロック後に公開するとはかぎらない。}

No.9-1
鉄子 2012/10/17 14:13

x=16の場合は、10組。
x=32の場合は、125組。
x=64の場合は、1304組。
x=128の場合は、11769組。
x=256の場合は、100461組。
x=512の場合は、825818組。

おぉ！鉄子さんありがとうございます！

>x=512の場合は、825818組。

オーダー的には良いですが，たったxが256増加しただけでこれほどの差が出るなら，次は512増加して1024へ行くので，誤差はより大きくなるかもです．

上限xと解の個数yのグラフを両対数で表示すると，見た目はほぼ直線なんですけど，予想が難しいですね．

私も数時間プログラムを走らせてx=1024の場合を求めてみると6706260通り(最大解：498²+500²+509²+538²=1023²)となりました．

http://viploda.net/src/viploda.net18121.png_UDuiTJm5gMJDrvldsiGT/viploda.net18121.png

点線はx=512とx=1024の2点を結ぶものです．これからわかるように解の個数は両対数グラフでは，ほとんど直線に見えるほど緩やかに傾きが小さくなっていく曲線のようです．x=128以降を両対数グラフ上で直線近似(つまり普通のグラフで累乗近似)をしてやれば，その先かなり広い範囲でオーダーを知ることができるでしょう．

次のx=2048では解の個数は5-60000000通りであり，1024C5と2048C5の比を考えると，私のプログラムでは数日はかかるでしょうね(もちろん全組み合わせを検証してるわけではありませんから2048C5回も計算はしませんが；e²がa²+b²+c²+d²より大きくなった時点でeを大きくするのを止めるという方法をとっています)．