y>x なので、nを自然数として、
y=x+n とおくと、
y=√(x^2+x+10000)
y^2=x^2+x+10000
(x+n)^2=x^2+x+10000
(2n-1)x=10000-n^2
x=(10000-n^2)/(2n-1)
この式に、エクセルなどで n=1,2,...,100
を代入して計算し、xが自然数になるものを選ぶと、
(x,n)=(9999,1),(3332,2),(132,34)
よって、
(x,y)=(9999,10000),(3332,3334),(132,166)

答えは
�@132
�A3332
�B9999
�Cなし

y=x+aとおくと、
x^2<x^2+x+10000=(x+a)^2<x^2+200x+10000=(x+100)^2 より、1≦a≦99

x^2+x+10000=(x+a)^2を整理して、x=(10000-a^2)/(2a-1)

ここで、m=2a-1(≦197)とおくと、x=(39999-m^2-2m)/(4m)
これが整数になるには、(39999-m^2-2m)/m=39999/m-(m+2)が整数、つまりmが39999の約数になる必要がある。

39999=3・67・199と、m≦197より、m=1,3,67 ゆえに、a=1,2,34 なので、xはそれぞれ9999,3332,132

よって、y=x+a=10000,3334,166

以上より、
�@…x=132
�A…x=3332
�B…x=9999
�C…条件を満たすxは、ない。

x^2+x+10000=(x+a)^2となるx,aを求めることになる。このとき、x^2+x+10000=x^2+2ax+a^2
10000-a^2=(2a-1)x
x=(10000-a^2)/(2a-1)
明かに、a=1,x=9999が解のひとつ、a=1でないとき、xが整数なら、x+10000も整数なので
{(10000-a^2)+10000(2a-1)}/(2a-1)も整数
計算してa(20000-a)/(2a-1)が整数、しかし、a=1でないとき、aと2a-1は互いに素なので、(20000-a)/(2a-1)が整数。これに20000を加えても整数なので、
{(20000-a)+20000(2a-1)}/(2a-1)が整数
計算して、39999a/(2a-1)が整数、a=1でないとき、aと2a-1は互いに素なので、
39999/(2a-1)が整数。39999=3*67*199
なので、2a-1=3,67,199のときxは整数となる（2a-1=3*67なども考えられるが、aが100より大きくなり、xは負になってしまう）。結局a=2,34,100のときであり、このとき、
x=3332,132,0である。x=0を除くと、最終的に、x=132,3332,9999と求まる。

�@ yが3桁の整数になる。　０と１３２
�A yが4桁の整数になる。　３３３２
�B yが5桁の整数になる。　９９９９
�C yが6桁の整数になる。　存在しない