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このクイズの参加者（11人）
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 中学生にイジワル
難易度：★★
 河野真衣
2012/09/16 10:41
普段生意気な口を利いている中学生に「3連休中にやってごらん。賞金付きよ」と言って、昔々やった記憶のある問題を出してやりました。問1.はすぐできたようですが、問2.は「おかしいなぁ?」と悩んでいるようで、まだ答えを出してきません。私は横目でそれを見ながら素知らぬ顔をしています。大陸在住の生徒さんはどうでしょうか? では、問題です。
問1. a+b+c=0,abc=2 のとき、「a^3+b^3+c^3」の値はいくらになりますか。 問2. a+b+c+d=0,abcd=2,a^2+b^2+c^2+d^2=4 のとき、「a^4+b^4+c^4+d^4」の値はいくらになりますか。
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回答募集は終了しました。
河野真衣
挑戦有難うございます。 残念ですが、両方とも正解ではありません。
河野真衣
問1.正解です。
 問2.は残念。 猛暑の今年ですが「不敵な奥さん」はお元気ですか? 涼しくなったら、又お目にかかりたいわ。
(x+y)^3=(x^3+y^3)+3xy(x+y)
x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y) を使って a^3+b^3+c^3 =(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3 =(a+b+c)^3-3ab(a+b)-3c(a+b)(a+b+c) a+b+c=0より =-3ab(a+b) a+b=cなので =-3abc=-3・2=-6 
1？
河野真衣
問1. 惜しいですね。 a+b+c=0 ですから、a+b=-cですよね。
河野真衣
問1.正解です。
 問2.もよろしく。
問1.
a^3+b^3+c^3 =(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc =3・2 =6 問2. a^4+b^4+c^4+d^4 =1/2(a^2+b^2+c^2+d^2)^2-1/2(a+b+c+d)^4+(a^2+b^2+c^2+d^2)(a+b+c+d)^2+4(a+b+c+d)(abc+abd+acd+bcd)-4abcd =1/2・4^2-4・2 =0
4変数の4次対称式はあまり考えたことがなかったのですが、いざやってみると面白かったです
河野真衣
お見事! 問1.問2.共正解です。
問2.の答えは中学生には間違いだと思われるかも知れませんね。
河野真衣
うまいイジワルですね。
「イクラ」にならなくていいから「数の子」になってほしいわ。
a^3＋b^3＋c^3を、条件式から[-(b＋c)]^3＋b^3＋c^3と変形し、整理すると、-3bc(b＋c)になる。条件式a＋b＋c=0より、b＋c=-a。これを-3bc(b＋c)に代入すると、-3bc･-a=3abc=6。正解は6。
問１を。
当たっていますように・・・・・・
河野真衣
お見事! 問1.正解です。
問1. a^3+b^3+c^3 = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc = 6
問2. ① (a+b+c+d)^4 ② (a+b+c+d)^2((a+b+c+d)^2-(a^2+b^2+c^2+d^2)) ③ ((a+b+c+d)^2-(a^2+b^2+c^2+d^2))^2 ④ (a+b+c+d)(abc+bcd+cda+dab) ⑤ abcd a^4+b^4+c^4+d^4 ＝ ① － 2×② ＋ ③÷2 ＋ 4×④ － 4×⑤ （4次の素因数はp^4、p^3q、p^2q^2、p^2qr、pqrsの5つのタイプがある。それを順次消していけば…） ①,②,④は(a+b+c+d)を素因数に持つので、値が0なのは明らか。 ③は(0^2-4)^2 = 16であるから、③÷2 ＝ 8 よって、a^4+b^4+c^4+d^4 ＝ 0 ＋ 0 ＋ 8 ＋ 0 － 8 ＝ 0
もっと簡潔に書けないものか。
河野真衣
問1.問2.共正解です。 問2. 結構複雑な式になりましたね。お疲れ様でした。
〈問１〉
a^3+b^3+c^3 =(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)(a+b+c)+3abc a+b+c=0,abc=2 より、 a^3+b^3+c^3=6 〈問２〉 a+b+c+d=0 の両辺を２乗すると、 0=(a+b+c+d)^2=(a^2+b^2+c^2+d^2)+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd) a^2+b^2+c^2+d^2=4 より、式を整理すると、 ab+ac+ad+bc+bd+cd=-2 a^4+b^4+c^4+d^4 =(a+b+c+d)(a^3+b^3+c^3+d^3) -(b+c+d)a^3-(a+c+d)b^3-(a+b+d)c^3-(a+b+c)d^3 =-ab(a^2+b^2)-ac(a^2+c^2)-ad(a^2+d^2) -bc(b^2+c^2)-bd(b^2+d^2)-cd(c^2+d^2) a^2+b^2+c^2+d^2=4 より、 a^4+b^4+c^4+d^4 =-ab(4-c^2+d^2)-ac(4-b^2+d^2)-ad(4-b^2+c^2) -bc(4-a^2+d^2)-bd(4-a^2+c^2)-cd(4-a^2+b^2) =abc(a+b+c)+abd(a+b+d)+acd(a+c+d)+bcd(b+c+d) -4(ab+ac+ad+bc+bd+cd) a+b+c+d=0 より、 a^4+b^4+c^4+d^4 =-4abcd-4(ab+ac+ad+bc+bd+cd) ab+ac+ad+bc+bd+cd=-2,abcd=2 より、 a^4+b^4+c^4+d^4=0
ふらっと立ち寄ってみたら、面白そうな問題だったのでやってみました。
問２は複雑だったので、計算ミスしてないといいのですが。
河野真衣
お立ち寄り有難うございます。計算ミスはありません。問1.問2.共正解です。
河野真衣
通りすがりさん、お久し振りです。お元気でした? 問1.問2.共正解ですよ。
河野真衣
問1.は正解です。
問2.はどうやって算出されたのかわかりませんが、正解ではありません。
回答有難うございました。 答えです。
問1 a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc=0+3×2=6 問2 ab+ac+ad+bc+bd+cd=1/2×{(a+b+c+d)^2-(a^2+b^2+c^2+d^2)}=1/2×(0-4)=-2 (ab)^2+(ac)^2+(ad)^2+(bc)^2+(bd)^2+(cd)^2=(ab+ac+ad+bc+bd+cd)^2+2abcd -2(a+b+c+d)(abc+abd+acd+bcd)=(-2)^2+2×2-0=8 a^4+b^4+c^4+d^4=(a^2+b^2+c^2+d^2)^2-2{(ab)^2+(ac)^2+(ad)^2+(bc)^2+(bd)^2 ＋(cd)^2}=4^2-2×8=16-16=0 … この値から分かるようにa,b,c,dは実数ではありませんでした。 |
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