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「午前8時59分60秒」

難易度：★ 　

KST 2012/07/01 04:54

どうも、KSTです。 (^^)

本日、2012年7月1日は、普段より一秒長い日ですね。 (^_-)

理由はご存知のことと思いますが… (^o^)

まぁ、長いといっても一秒ですし、生活上で何かしら特別なことがあるわけではないので、あまりその実感がわかないのも事実です。

しかも、今日は日曜日。明日は月曜日と思うと、なんとなく憂鬱になる自分。

…で、気分をリフレッシュするために、瞬殺数学問題を一題出題してみることにします。

・・・・・・・・・・・・
【問題】

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は素数でしょうか？

なるべく簡単な方法で判別してください。

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大きな数の素数判定は、難しいことが多いですが、こちらは、分かる方には、本当に瞬殺の問題です。

使用する内容は高校までで習う範囲です。中学までの範囲でも出来ます。 (*^_^*)




	【>>20】

回答募集は終了しました。

▲ △ ▽ ▼ No.1

【解法①】 因数分解の公式 (a^3-1)=(a-1)(a^2+a+1)を使う。 【解法②】 一般に、7の後に、9が6の倍数個並ぶ数は、7で割り切れることを示す。

KST 2012/07/01 05:30

用意している2種類の解法の、おおまかな方針を囁いておきます。 (*^_^*)

□ KST

▲ △ ▽ ▼ No.2

ヒミツ

リリカル 2012/07/01 08:21

中2でも解けるかな？

KST 数学では、少しの「試し」だけで結論づけるのは難しいんですね… (;v;)

実は、今回は、7の後に続く9の個数の関係で、小学生でも分かるような簡単な方法があります。 (^o^)

本当はもう少し難しく出来たのですが、あえて易しめにしました (*^_^*)

▲ △ ▽ ▼ No.3

ニクキュゥ～ 2012/07/01 11:00

遠目から見るときれい

▲ △ ▽ ▼ No.4

ヒミツ

リラック魔 2012/07/01 16:03

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999999999999ですね

KST もしそうなら、これはものすごくエレガントな問題です (^_-)

ちなみに、そう思われる理由は？ (^^)

▲ △ ▽ ▼ No.5

はてな 2012/07/01 16:12

▲ △ ▽ ▼ No.6

河野真衣 2012/07/01 17:22

質問です。差支えがあるようなら答えてもらわなくてもいいのですよ。
問題の数で、7の後ろに並んでいる9の個数は3061個てすか?

KST 何度も数え直してみましたが、ご指摘の数よりちょっとだけ少ないはずです。 (^^)

数え間違いがあるかな…？いや、多分大丈夫なはず (・o・∥)

▲ △ ▽ ▼ No.8

ヒミツ

河野真衣 2012/07/01 21:14

9の個数は私が数え間違ってました。ごめんなさい。
数え直して答えを出しましたが、合ってるかどうか。　 (;_;)

それにしても厄介なことを考えましたねぇ。 (^^)

KST こちらが用意している解答と同じですね！お見事！！ (＞o＜)

◯◯◯◯を使った面白い問題を考えていて、ふと思い付いたものでした。 (^^)

▲ △ ▽ ▼ No.9

ヒミツ

みれい 2012/07/01 21:14

9の数を数えるのが一番大変だ。 (-へ-;)

KST なるほど！用意しているのとは計算過程は少々異なりますが、考え方はほぼ同じです！ (**)

9の数は少し多すぎましたかね… (^^;)

インパクトを重視してしまったもので… (-へ-;)

▲ △ ▽ ▼ No.10

ヒミツ

たぬきおやぢ 2012/07/02 01:07

なかなか気づかなかった。余談は別途。

KST そんな感じでOKです！単純でも意外に気付きにくいこと、よくありますよね (*^_^*)

▲ △ ▽ ▼ No.11

ヒミツ

たぬきおやぢ 2012/07/02 01:14

余談です。

KST 試行錯誤の末の閃きだったわけですね！ (＞o＜)

本当にお疲れ様でした (*^_^*)

囁きの最後の問いに関しては…

7以上の素数nに対して、nは10と互いに素なので、フェルマーの小定理より、
10^n-1 ≡ 1(mod n)となり、さらにnは9とも互いに素なので、
(10^n-1-1)/9 ≡ 11…11(1がn-1個続く数) ≡ 0(mod n)
となるので、囁きの問いが成り立つ。…で、どうでしょう？

▲ △ ▽ ▼ No.12

ヒミツ

soul 2012/07/03 00:00

数字の個数はワードソフトに数えてもらった。

KST たくさんある9を上手に消していく方法ですね (^^)

お見事です！

その判定法、そういえば、ある本に載っていたのを覚えています (*^_^*)

17や19の場合もあるそうですが、計算がまあ、めんどくさいこと… (・o・∥)

▲ △ ▽ ▼ No.13

KST 2012/07/03 21:34

皆様、ご挑戦ありがとうございます！ (*^_^*)

まず、問題の数が素数か、素数でないか、その答えを言ってしまいますと…この数は、

素数ではありません。

ある数が素数であることを示すには、とてつもない労力が必要なことがよくありますが、逆に素数でないことを示すのは、場合によっては比較的簡単なことも多いんですね (**)

なお、今回、用意している解答は、大まかに分けてつぎの二種類です↓

①
小さな数で割ることで、約数を見つける

一番シンプルで早い方法です。今のところ、みれいさん、たぬきおやぢさん、soulさんが大体この方針で正解されました。

②
中学～高校で習う◯◯◯◯を使う。

約数を見つけることには変わりありませんが、①より一般的な9の個数についても、素数でないことが判定できます。今のところ、河野真衣さんがこちらの方針でした。

…というわけで、①を見つけられた皆さんは、是非、②の方にも、挑戦して頂きたく思います。参考として、①の方法ではなかなか分かりにくい2つの類題をどうぞ↓

・・・・・・・・・・
【類題①】