１→１×1/2→１×1/2の２乗→1/2の３乗→…と、規則的に減少していくものを無限に足した合計yの求め方。
（証明は割愛）
最終的にyになるのであれば、yに対する初めの１回（１）の割合は、初めの１回を除いた残り（y-1）に対する次の１回（１×1/2）の割合と同じになり、これが永久に繰り返していくはずなので、
y:1=y-1:1/2
これを解いてy=2

この問題は、これを応用して、初めの１回が１ではなく、減少していく割合も1/2ではない数字を考えなくてはいけないですね…。

　初めまして
タイルコ君｛Ａとします｝タイコちゃん｛Bとします｝
Ａはジョーカーを引く以外負けませんから三分の２確率で勝ちます
なので６６．６６６６・・・％になり　　約六七％になります

見当違いでも　全く違ってもおこらないでください

3/4でしょ。

カードを
コ　a,b　　の2枚
子　a,b,j　の3枚(j=ジョーカー)

コが勝つには
1回目にaかbを引かなければいけないから(1回目で揃えてしまえば、次に子にカードを取られて終了できる)
勝つ確率は　2/3。

1回目でJを引いた場合、
2回目で、子がjを引くことが必要かつ、3回目でジョーカ以外を引くことが必要。
よって、3回目で勝つ確率は
1/3＊1/3＊2/3

以下、同様に
確率を計算していくと
求める確率Ｐは、
Ｐ＝2/3 ＋ 1/9*2/3 +(1/9)^2*2/3 +・・・・+(1/9)^(n-1)*2/3　　・・・・・�@
両辺に　1/9　をかけて
1/9*Ｐ＝1/9*2/3 +(1/9)^2*2/3 +・・・・+(1/9)^(n-1)*2/3　+(1/9)^n*2/3・・�A

�@ー�Aをすると

8/9*Ｐ　＝　2/3 -(1/9)^n*2/3
よって
Ｐ　＝　9/8(2/3 -(1/9)^n*2/3)

n→無限であるから

Ｐ=　(9/8)*(2/3)
　=　3/4
て感じですな

タイルコ君の勝率をｐと置くと、必然的にタイル子ちゃんの勝率は１−ｐとなります。
タイルコ君は１回目に２／３の確率でババ以外を引いて勝ちます。
そして、１／３の確率でババを引きますが、このときは、２人の立場が逆転した状態になります。従って１回目ババを引いた後のタイルコ君の勝率は１−ｐです。
このことから、
ｐ＝（２／３）＋（１／３）×（１−ｐ）
が成り立ちますので、これを解くと、ｐ＝３／４になります。

タイルコをT、タイル子をtとします。
そしてタイルコの持ち札をA,B,タイル子の持ち札をA,B,Jokerとします。

TがJokerを引く場合：1/3
┣tもJokerを引く場合：1/9(1/3*1/3)
　最初の状況に戻るので、2巡目になる確率は1/9。3　巡目になる確率は1/81。…と考慮する。

┗tがAまたはBを引く場合：2/9(1/3*2/3)
　Tはtの最後の1枚を引かなければならない。
　したがって、tが勝つ。

TがAまたはBを引く場合：2/3
　tはTの最後の1枚を引かなければならない。
　したがって、Tが勝つ。

また、x/n + x/(n^2) + x/(n^3) … = x/(n-1)となるので、(これは証明済み)

Tが勝つ確率：1巡目で勝つ確率は6/9。2巡目で勝つ確率は6/81 … となるので、
6/9 + 6/81 + 6/729 … = 6/8 = 3/4となる。

tが勝つ確率：1巡目で勝つ確率は2/9。2巡目で勝つ確率は2/81 … となるので、
2/9 + 2/81 + 2/729 … = 2/8 = 1/4となる。

よって、タイルコ君が勝つ確率は3/4。

それと、1巡目でTがtの引いたJokerがどこにあるか覚えておけば、確率は7/9に上がります。先手ズルいですが。(笑)

似たような話で，相撲の巴戦がありますね。ＡＢＣがあい星で優勝決定戦する場合，ＡとＢがまず戦う。勝った方がＣと戦う。勝ち上がった方が勝てば優勝。Ｃが勝てば，初戦負けた人と戦う。これをずっと続けて誰かが連勝したら優勝となります。さて３人が同等の実力の時，それぞれの優勝確率は？

Isacさんの計算方法に感服です。

＞イシュトさん
分かりにくくてすいません。

・AvsBでＡが勝つ場合：1/2※1

┣AvsCでＡが勝つ場合：1/4
　 ここでＡの優勝が決まる。

┗AvsCでＣが勝つ場合：1/4
　┣BvsCでＢが勝つ場合：1/8
　　 ┣ＡvsBでAが勝つ場合：1/16
　　　　※1に戻る。2巡目に行くとき、それぞれ確率に1/8を掛ける。3巡目に行くとき、それぞれ確率に1/64を掛ける …

　　 ┗ＡvsBでBが勝つ場合：1/16
　　　　ここでＢの優勝が決まる。

　┗BvsCでCが勝つ場合：1/8
　 　ここでＣの優勝が決まる。

・AvsBでBが勝つ場合：1/2※2

┣BvsCでBが勝つ場合：1/4
　 ここでBの優勝が決まる。

┗BvsCでＣが勝つ場合：1/4
　┣AvsCでAが勝つ場合：1/8
　　 ┣ＡvsBでAが勝つ場合：1/16
　　　　ここでＡの優勝が決まる。

　　 ┗ＡvsBでBが勝つ場合：1/16
　　　　※2に戻る。2巡目に行くとき、それぞれ確率に1/8を掛ける。3巡目に行くとき、それぞれ確率に1/64を掛ける …

　┗AvsCでCが勝つ場合：1/8
　 　ここでＣの優勝が決まる。

また、x/n + x/(n^2) + x/(n^3) … = x/(n-1)となり、最初の状態に戻る確率は1/8 (1/16+1/16) なのでn=8。

Ａの勝率：１巡目で5/16(1/4+1/16)、2巡目で5/128、以下5/1024…
1/2(5/8) + 1/2(5/8^2) + 1/2(5/8^3)　… = 1/2(5/7) = 5/14

Ｂの勝率：１巡目で5/16(1/4+1/16)、2巡目で5/128、以下5/1024…
1/2(5/8) + 1/2(5/8^2) + 1/2(5/8^3)　… = 1/2(5/7) = 5/14

Cの勝率：１巡目で1/4(1/8+1/8)、2巡目で1/32、以下1/256…
2(1/8) + 2(1/8^2) + 2(1/8^3)　… = 2(1/7) = 2/7 = 4/14

…って、Ｃ不利じゃん。

isacさんの計算法を借りると，

それぞれの優勝確率をＰ（Ａ），Ｐ（Ｂ），Ｐ（Ｃ）とすると
Ｐ（Ａ）＝Ｐ（Ｂ）
Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）＋Ｐ（Ｃ）＝１

Ａの優勝ケース
一二戦連勝→1/2*1/2＝1/4
一戦目勝ち，二戦目負けの後，ＣがＢに負けると，最初Ｃと同じ立場になる→1/2*1/2*1/2*Ｐ（Ｃ）
一戦目負け，２戦目ＢがＣに負けると最初のＣと同じ立場になる→1/2*1/2*Ｐ（Ｃ）

この３つで

Ｐ（Ａ）＝1/2*1/2　＋　1/2*1/2*1/2*Ｐ（Ｃ）　+　1/2*1/2*Ｐ（Ｃ）

で解くとＰ（Ａ）＝Ｐ（Ｂ）＝5/14　Ｐ（Ｃ）＝4/14　となります。

直感的にいうと，ＡとＢは初戦負けてもまだ望みはありますが，Ｃは初戦負けるともうダメです。
この分確率的に差が出るのでは？

◆出題者からの解答を掲載します。

＝＝＝＝＝

早速ババ抜きの解答です。
まずタイルコ君が引いて、タイル子ちゃんが引くまでを１ターンとします。
1ターン目。タイルコ君が勝つ確率は2／3です。
（ババ引かなければ必ずセットができるので残り1枚になりタイル子ちゃんが引いた時点で手札が0になる。）
タイル子ちゃんが勝つ確率は1/3（タイルコ君がババ引く確率）×2/3（タイル子ちゃんがババを引かない確率）＝2/9です。
分母をそろえると6/9と2/9になります。残りの1/9が2ターン目突入です。

2ターン目。
タイルコ君が勝つ確率は1ターン目から数えて1/9（1ターン目で決着がつかない確率）×2/3（ババを引かない確率）＝2/27
タイル子ちゃんが勝つ確率は1/9×1/3（タイルコ君がババを引く確率）×2/3（タイル子ちゃんがババを引かない確率）＝2/81
分母をそろえると6/81と2/81になります。

ここらであることに気づきます。
1ターン目も2ターン目もタイルコ君が勝つ確率はタイル子ちゃんの3倍です。
これ以上計算してもどのターン数でも3倍です。
つまりタイルコ君の勝つ確率は3/4（75％）タイル子ちゃんは1/4（25％）になります。

詳しく説明したため複雑そうになってしまいましたが、1ターン目の勝率がわかれば、2ターン目以降も同じカード状況なので同じ勝率、というだけの話なんですよね。
ちなみに1枚と2枚であれば2/3と1/3になります。
以上です。

＝＝＝＝＝

もとめ方は色々あるようですね。
というわけでみなさん正解です！
丁寧なお答えに