ヒミツ

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△ABCの最大辺をa、∠Aをなす辺々をb,cとおく。
b=cとするとa=√3bとなるので不適。
よってa>b>cとおくことができる。
また、三角形の成立条件から、a-c<bなのでb>cと合わせて、
a<2b　―�@

∠A=120°より、余弦定理から、
2bc*cos120°=(b^2+c^2-a^2)
a^2=b^2+bc+c^2
(a-c)(a+c)=b(b+c)
（a-c<b<b+c<a+c）
bは素数であるが、a-cはbより小さいので、bを約数に持たない。よって、a+cはbを約数に持つ。
したがって、a+c=kb(kは自然数)―�A　とおける。
�Aより、k(a-c)=b+c ―�B
�A、�Bからcを消去すると、
(2k+1)a=(k^2+k+1)b
となるが、a,bは互いに素なので、
a=t(k^2+k+1)
b=t(2k+1) (t>0)
とおける。
�A、�Bからbを消去すると、
(k^2-1)a=(k^2+k+1)c
となるので、
c=t(k^2-1)とおける。

ここで、�@より、
k^2+k+1<2(2k+1)
k^2-3k-1<0
(3-√13)/2<k<(3+√13)/2
kは自然数だから、k=1,2,3

k=1とすると、c=0となるので不適。
k=2とすると、(a,b,c)=(7t,5t,3t)
ここで、t=1とすると、
(a,b,c)=(7,5,3)
k=3とすると、(a,b,c)=(13t,7t,8t)
a,b,cをそれぞれ素数にするようなtは存在しないので不適。

よって、(a,b,c)=(7,5,3)
したがって、△ABCの面積は、15√3/4