見落としてなければこれで全部でしょうか。

こんな結果が出ました。

かなり長くなってしまった。

長くてすみません

正解を発表します。

kのとき先手が勝つとします。
後手が次のような戦略をとった場合も勝てるはずです。
１．どれかの箱を移動させて番号の合計をk以上にできるときはその箱を移動します。
２．ある箱を移動させた場合に、次に先手がどの箱を移動しても合計をkにできないような箱があればその箱を移動します。
３．そのような箱がない場合はどれでもいいので箱を移動します。

最後の一つ前に後手がどの箱を移動しても、次で先手が合計をkにすることができるようになっていたはずです。
このとき後手が移動する箱の番号と次に先手が移動する箱の番号の和は、後手の選んだ箱にかかわらず一定です。
箱の番号はすべて異なりますので、和が等しいペアの組み合わせは一意に決まります。
すべての箱をペアにするためには箱が偶数個ある必要がありますが、後手の番で区画1にある箱は奇数個です。
従ってこのようなことは起こらず先手が勝つことはありえません。
箱が偶数個の場合、先手が1回目で勝てる場合を除けば常に同じことがいえます。
この問題では先手が1回目で勝てる場合はありませんので、後手の必勝です。
A君が勝つようなkの値はありません。