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このクイズの参加者（7人）
算数・数学クイズ
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 東京大学に挑戦してみない ? (ちょっと古いけど)
難易度：★★
 河野真衣
2011/10/07 21:32
この問題は私が高校時代に使った問題集に載っていたもので、昭和29年度(なんと57年前!)の東京大学数学入試問題です。当の問題集はとっくにどこかへ行ってしまいましたが、問題文が簡単だったのと(だらだら長い問題文は見ただけでうんざりするからねぇ。)成る程そうだったのかぁと思わせるようなところがあって、頭に残っていました。問題の難易度もそれほど高いとは思えないので、受験生の皆さんは連休中にちょっとやって見たら、受験への自信が深まるんじゃありません? では、
『問題』 座標平面上の点(x,y)が、円 x^2+y^2=1の周上を動くとき、点(x+y,xy)はどのような図形を描くか。 図示して回答してもらうことはできませんので、x+y=X,xy=Yとして、点(X,Y)がどのような図形を描くのか、XとYの関係式を含めて簡単に答えて下さい。(途中の計算式等は不要です。)
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回答募集は終了しました。
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y=(x^2+1)/y
ということだけわかりました。 虚数って面白そうだなと思っています。 しかし、難しそうです・・・ 
きょ、虚数・・・
中2の私は関心を持つだけで終わりました  
河野真衣
それは残念。2,3年後にもう一度やって見てね。。
河野真衣
正解ですよー。ご立派。
原点からx軸方向を始線とした角度を
θとおく。 すると0≦θ＜2πの間において 円x^2+y^2=1上の各点は (x,y)=(cosθ,sinθ) と表現することができる. すなわち、 X=x+y=sinθ+cosθ Y=xy=sinθcosθ となる。 X^2=(x+y)^2 =(sinθ+cosθ)^2 =sin^2θ+2sinθcosθ+cos^2θ =2xy+1 =2Y+1 となるので、ここから Y=(X^2/2)-1/2が導出される。 すなわち、(x+y,xy)が描く図形は (0,-1/2),(1,0)を通る 放物線である。
即答でした。確かに易問。
現役阪大生です。
河野真衣
残念ながら、この答えでは不合格です。ご自分の解答のどこに欠陥があるのか見直してください。
河野真衣
何のこと?
前回の解答の不足差分。
Xをθについて１回微分すると dX/dθ=cosθ-sinθ ここで、0≦θ＜2πにおいて 0≦θ<π/4でX'>0 θ=π/4でX'=0 π/4<θ<5π/4でX'<0 θ=5π/4でX'=0 5π/4<θ<2πでX'>0 なので 0≦θ<2πにおいて、Xは θ=π/4のとき最大値をとり、 θ=5π/4のとき最小値をとる。 これより、 -sqrt(2)≦X≦sqrt(2) となる ※√と書くとややこしいので ２乗根の内容をsqrtで表記しています。 したがって、 描かれる図形は Y=(X^2/2)-1/2 の -sqrt(2)≦X≦sqrt(2)部分である
いくら阪大生であっても、こういう問題を間違えるのは
高々僕だけのような気がする。恥を知るべきだった。 出題者さんが僕の誤答を大々的に張り出したのも 恥を知れということだったんでしょう。 本当にごめんなさい。
河野真衣
これで正解です。こんなに複雑な計算をしなくてもいいのになぁとは思いますが。
回答は「差し支えのない範囲で公開する」というクイズ大陸の方針に従って公開しただけのことで深い意味はありません。ミスに気付いていただけて幸いでした。謝っていただく必要など全くありません。お疲れ様でした。 Y=X^2/2-1/2 (-√2 ≦ X ≦ √2)
試験結果以外では何も責められない受験生時代というのは幸せだったのかもしれない…
河野真衣
正解です。
昔、「受験生ブルース」という歌がありましたが、受験生も自分が幸せだとは思っていませんでしたよ。 問題文からxy平面上に存在する全ての点は原点を中心とする半径1の円周上に必ず存在する。点(x+y,xy)も x^2+y^2=1の周上に存在するので(x+y)^(2)+(xy)^(2)=1を満たす。x^2+y^2=1を代入すると2xy+(xy)^(2)=0となり、xy=-2となる。しかし、これは条件を満たさない事がわかる。
よって、点(x+y,xy)はx^2+y^2=1の周上に存在しない事になる。 点(x+y,xy)はどのような図形も描かない。
自分が題意を理解できているかどうか微妙ですが、とりあえず問題文の座標面はxy平面であるものとして解きました。これで正しければかなり易問だと思います。
河野真衣
問題の捉え方が他の方と違っているようですが、私の能力不足でおっしゃっている事がよく分かりません。残念です。縁が無かったということで。
x=sint
y=cost とすると、 X=sint+cost (-√2≦X≦√2) Y=sintcost=1/2*sin(2t) (-1/2≦Y≦1/2) X^2-2Y=sin^2t+cos^2t=1 より Y=(X^2-1)/2 ただし(-√2≦x≦√2) 短すぎて不安になります
X=x+y、Y=xy
には面白い性質があった気がしますけど忘れてしまいました 新数学演習に載っていたような・・・
河野真衣
三角関数を持ち出すこともないと思いますが、おっしゃる通りで正解です。以前おやりになったことが、きっちり身についていたのではありませんか。
計算し直しました。x+y=X,xy=Y,x^2＋y^2
=1として、(x＋y)^2=x^2＋y^2＋2xy=1+2Y=X^2 x,yが両方とも正の場合：Y=(X^2-1)/2の1<X≦√２の範囲を移動する。 x,yのどちらか片方が正でもう片方が負の場合：Y=(X^2-1)/2の－1<X<1の範囲を移動する。 x,yが両方とも負の場合：Y=(X^2-1)/2の－√2≦X<－1の範囲を移動する。 よって、点(x＋y,xy)は放物線Y=(X^2-1)/2の－√2≦X≦√２の範囲の曲線を描く。 初めは点(x,y)はxy平面上の任意の点を表すと思いその先は混乱していました。
これでどうでしょう。
河野真衣
問題の意図が分かってもらえたようで安心しました。お答えの通りで正解です。
X^2=1+2Y
(-sqrt(2)<=X<=sqrt(2)、-1/2<=Y<=1/2)
ぱっと見で思いついた程度で。間違いならその後じっくり考察することに致しましょう。
河野真衣
じっくり考察してもらう必要はありませんよ。 正解です。
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