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 中1生よ! やれるものならやってみろ! 改
難易度：★★★
 Delta
2011/07/31 01:59
ちょっと出してみてよと言われたので試しに一つ。
値が異なる３つの自然数x,y,zに於いて x3+y3=z3 に解がないことは知られています。では x2+y3=z3 ではいかがでしょうか。これには解が無数に存在します。解を1つ以上あげてください。 a2-3b2=1 の一般解を利用しなくても1つはいけるはずです。抜け道がありますので探してみてください。どうしてもこの二次方程式にぶち当って抜けられないならば以下のhint(白文字)をどうぞ。当然これにぶち当たっても解の一つですから正解と見なします。試行錯誤でも一応解けはしますが、数学的にきちんと解を一つ求める方法はありますので是非とも数学的な導き方も考えてください。 a2-3b2=1 の解は、以下の漸化式で与えられる。 a1=2 b1=1 とし an+1=2an+3bn bn+1=2bn+an
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回答募集は終了しました。
Delta
あちゃー、整数論持ち出すまでもありませんでしたね。文句つけようもなく正解です。出来ればどのようにしてその一般解が出たのかを書いていただけないでしょうか？
「 答え」
(x,y,z)=(28,6,10),(224,24,40)など、nを 自然数として、(28n^3,6n^2,10n^2)で表される全ての組 
自分でやるのはちょっとくたびれたので、「この問題はお前向けに作ってくださったんだから、あんたがやりなさいよ。」と言って問題を紙に書いて渡してやったら、さっき、「囁き欄」に書き込んだような答えを持ってきました。どんなやり方でやったのかは分かりませんが、「何組でも答えられるよ。」と自信ありげです。中1生はリベンジできるんでしょうか?
Delta
はい、それも間違いなく正解です。おそらく方針は河野さんのだしたあの問題と変わらないと思いますが、a^2-3b^2=1を使わずに解にたどり着く方法もきちんとありますのでどうぞ探してみてください。
数学的に導いたのではなく、式をいじっていたらたまたまこうなったのですが、一応その課程を書きます。
x^2=z^3-y^3になれば良い。ここで、話を簡単にするため、ためしにz=nyとしてみたら、 z^3-y^3=(n^3-1)y^3となる。ここでさらに y=(n^3-1)にしてしまえば、 x^2=(n^3-1)^4よりx=(n^3-1)^2となる
というだけでした。
Delta
ん〜お見事。完敗です。
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それでも十分得られるものは大きかったです。
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