あってるかな

説明不足かな。

証明は難しそう

再度検証してみたんですがやはり十五個の場合先手が勝ちそうです。

こうでしょうか

↓問題文をよく読んでいませんでした
山は２つにしか分けないと思っていました。
出直してきます。

こうですね

一般解はまだ途中。

一般則を得るのは難かしそう

・山が1個、2個、4個のみの場合は、次に着手するプレイヤーの負け。
　この状態では4個→1個＋3個に分割するしかないが、
　相手は次の着手で必ず3個→1個＋2個が可能であり、1個,2個,4個のみの状態を維持できる。

・5個以上の山が無く、3個の山が偶数個ある時、次に着手するプレイヤーの負け。
　自分が3個の山を崩すと、相手も3個の山を崩す。結果として3個の山が2つ減る。
　自分が4個の山を1+3個に崩すと、相手は3個の山を1+2個崩し、結果として4個の山が1つ減る。
　逆に5個以上の山が無く、3個の山が奇数個ある場合、次に着手するプレイヤーの勝ち。

・最初の山が8個の場合は初手が5通りあるが、どう分割しても先手の負け。
a.[1,7][1,3,4][1,2,5]→[1,1,2,4]
b.[2,6]→[2,2,4]
c.[3,5]→[2,3,3]

上記の3点を踏まえると、最初の山が10,15の場合はどちらも先手必勝。
前者は[10]→[2,8]、後者は[15]→[1,2,4,8]が必勝戦術となる。

但し、15は2通りの必勝戦術があります。暇な方は探してみてください。

確認した所、40までは先手必勝でした。
それ以降は検証していませんが、9以上はすべて先手必勝のような気がしてなりません。

先手必勝の初手が複数あるパターンも多く、25は少なくとも4通りもの勝ち方があるようです。

いろいろと試行錯誤した結果、全ての初期配置について解決しました。9以上は全て先手必勝のようです。
各山の数に対し、以下のように「点数」をつける：
　1,2,4,8→0
　3→1
　5→2
　6→3
　7→4
　9以上のn→(n-4)
ニム（三山くずし）と同様に、各山の点数の排他的論理和を計算して
それが0であれば非手番者が、そうでなければ手番者に必勝戦術が存在することになる。

カップが10個の場合、10個→6→(110)₂なので先手の勝ち。
必勝の初手は2+8 (0 ∨ 0 = 0)。

15個の場合、15個→11→(1011)₂なので、やはり先手の勝ち。
必勝の初手は 1+2+4+8 (0 ∨ 0 ∨ 0 ∨ 0 = 0) となります。
実は 1+3+5+6 (0 ∨ 1 ∨ 2 ∨ 3 = 0) でも勝てる。

（本人確認用）