商をP(x)、余りをax+bとすると
x^n=P(x)(x^2+1)+ax+b

(�T)n=1,5,9,13,･･･の時
x=P(x)(x^2+1)+ax+b
x=iで
i=ai+b
よって余りはx

(�U)n=2,6,10,14,…の時
x^2=P(x)(x^2+1)+ax+b
x=iで
-1=ai+b
よって余りは-1

(�V)n=3,7,11,15,…の時
x^3=P(x)(x^2+1)+ax+b
x=iで
-i=ai+b
よって余りは-x

(�W)n=4,8,12,16,20･･･の時
x^4=P(x)(x^2+1)+ax+b
x=iで
1=ai+b
よって余りは1

n=4k-3の時x
n=4k-2の時-1
n=4k-1の時-x
n=4kの時1

解き方としては、x^2+1=0と考えx^2=-1とすれば即座に次数を1以下まで下げられる。後はx=1の時の余りを考えれば解決。

kを自然数とします。

n=4k-3の時、余りはx

n=4k-2の時、余りは-1

n=4k-1の時、余りは-x

n=4kの時、余りは1


n=10のとき位まで実際にやってみて、おそらくと思う法則がこれです。
力技ですね

一つでスパーンと出る式も、探してみたいなぁ。

剰余の定理を利用します。<br>x^2+1=0となるようにxを定めると、x=±iになります。<br>余りは一次式になるので<br>ax+b　　（a b は定数）<br>とおけます。<br><br>�@x=i を代入したとき<br>ai+b=i^n<br><br>�Ax=-iを代入したとき<br>-ai+b=(-i)^n<br><br>�@�Aの連立方程式を解いて、<br><br>a={i^(n-1)+(-i)^(n-1)}/2<br>b={i^n+(-i)^n}/2<br><br>が導かれます。よって答えは<br><br>i^(n-1) + (-i)^(n-1) i^n + (-i)^n<br>--------------------x + ------------<br> 2 2<br><br>になります。<br>あー大変だった （笑）<br><br><br><br><br><br>ちなみに、iを使ったことから極座標形式で表記することもできるかと思いました。<br>詳しい説明は飛ばしてしまいましたが、どうやら<br><br>sin(nπ/2)*x + cos(nπ/2)<br><br>と書けそうです。こっちの方がスマートな感じがしますね。<br>４パターンの場合分けが出た時点で気づけば良かった