エレガントでも独創的でもないです。

平凡ですが

携帯からなので改行が出来ません…。
読みづらかったらごめんなさい。

まず一般的な解法で

河野真衣さん、解答ありがとうございます。
正解です。
ですが、解答は囁き欄に書いてください。
他の方が解答が分かってしまうので、一度消させていただきます。

さて、では閉じましょう。まずは、一般的な解答です。

与えられた式は、
　　c² − k² ＝ 4 ab
　　k² ＝ c² − 4 ab
と変形できる。ここで、c ＝ a ＋ b なので、上の式に代入して、
　　k² ＝ (a ＋ b)² − 4 ab
　　k² ＝ (a − b)²
となるから、k ＝ |a − b| となる。よって、全ての有理数 a, b に対し、有理数 k は存在し、題意は示された。

独創的 (?) な解法です。上の解法の方が楽ですが、こういう解法も、ということで。

2 次方程式 x² − cx ＋ ab ＝ 0 を考える。c ＝ a ＋ b なので、この方程式は、
　　(x − a) (x − b) ＝ 0
　　x ＝ a, b
と解ける。また、解の公式を使えば、この解は、
　　x ＝ (c ± √(c² − 4 ab)) / 2
となる。これが有理数になるには、√(c² − 4 ab) が有理数でなければならないので、c² − 4 ab ＝ k² を満たす有理数 k が存在する。この式を変形すれば、
　　c² − k² ＝ 4 ab
　　(c ＋ k) (c − k) ＝ 4 ab
となり、与えられた式と同じになるので、題意は示された。

c² − 4 ab という形に注目すれば、この 2 次方程式を用いる解法が思いつくかも。

４畳半を思い浮かべれば簡単です