簡単で面白い問題だと思っていたのですが
参加者がいらっしゃらないのでちょっとヒントを出します。

ある平面はα、βの両方に接し、接点がＡ，Ｂです。
球α、βの中心をＯ，Ｏ’とすると直線ＯＡ，Ｏ’Ｂはその平面に直交しています。
従って点Ａ，Ｂ，Ｏ，Ｏ’は同一平面上にあります。
この平面上では２つの円と共通接線という図になります。

２つの円の共通接線は４本しかありません。
接点間の距離は２種類だけです。
その距離は円の中心間の距離と円の半径が分かれば簡単に求められます。
接点間の距離の比は６：５ですので中心間の距離が満たすべき方程式が得られます。
それを解けば答えまであと一歩です。

２つの円の共通接線は４本引けます。
接点間の距離は２種類しかありません。
２つの円が接線の同じ側にある場合と異なる側にある場合の２種類です。
それぞれの場合の接点間の距離をd1,d2とします。
２つの円の半径をr1,r2,中心間の距離をdとすると、三平方の定理より
d1^2=d^2+(r1-r2)^2
d2^2=d^2+(r1+r2)^2
が成り立ちます。
d2^2-d1^2=d^2+(r1+r2)^2-d^2-(r1-r2)^2=4r1r2
r1=4,r2=11とすると、d2^2-d1^2=4*4*11
明らかにd1＜d2ですので、d1/d2=5/6です。
d2=6d1/5より、d2^2-d1^2=36d1^2/25-d1^2=11d1^2/25=4*4*11
d1^2=4*4*11*25/11=4*4*5*5
d1=4*5=20
d2=6d1/5=24
d^2=d1^2-(r1-r2)^2=20^2-7^2=351

つまり、ＡＢ＝２０万ｋｍ，ＣＤ＝２４万ｋｍ，球の中心間の距離は√３５１万ｋｍ
中心間の距離は求める必要ないんですけどねー
あとは暗算で答えがでます。

ラストヒント
＞α上のある点Ａにおける接平面はβにも点Ｂで接する
点Ｐはこの接平面上の点である。
Ａ，Ｂ，Ｐはすべてこの接平面上の点。
従って、直線ＢＰは点Ｂでβに接するのである。

結局参加者なしですか
では答えを見て驚くがいい！

直線ＣＤとして考えられる直線の集合は２つの球に外接する円錐曲面。
Ａ，Ｂ，Ｐを含む平面とこの円錐曲面の共通部分は楕円。
Ｐはその楕円上の点になります。
直線ＡＰとＣＰは球αの接線ですので、線分ＡＰと線分ＣＰの長さは等しいはず。
同様にして線分ＢＰとＤＰの長さも等しいことが分かります。
従ってＡＰ＋ＢＰ＝ＣＰ＋ＤＰ＝ＣＤ
つまり、ＡＰ＋ＢＰは一定であり、Ａ，Ｂは楕円の焦点になっているのです！
ＡＢ＋ＡＰ＋ＢＰ＝ＡＢ＋ＣＤ＝２０＋２４＝４４
最大値も最小値も４４万ｋｍというのが答えです。

あ　かいとうでてる。
僕も考えたんですが答え一定になるじゃん、と途中で気づき、(僕が)間違ってると思ってやめちゃいました