解答を囁いておきます。ちなみに、出題している問題は全てオリジナルであり、他の参考書などの引用は一切しておりません。宿題丸投げなんて信じられません。

http://quiz-tairiku.com/q.cgi?mode=view&no=12332
これをどうぞ！ uploader消えてますが。

うーんと、このままだと何だか寂しいので僕からも出題して良いですか？ 　No.2の問題の中で、「片方の指数を2xとかにしたら、不対称にはなりますが、いっきに難問になるのです。もちろん、正の有理数の範囲に拡大した場合であって…(ごみさんより)」という話がありましたよね？

ということで勝手にですが問題です(爆)。a^b＝b^2a を満たすような有理数a,bの組み合わせを一つ挙げて下さい(答えは無限に存在します)。例えば、a＝(3/4)³＝27/64　と b＝(3/4)²＝9/16 などが条件を満たします。Math70さんも是非考えてみて下さいな

a={(n+1)/(2n)}^n+1,b={(n+1)/(2n)}^n
n∈Nならみたすので無限にありますね

ケンスーさん＞↑ちょっとｗそれ書いたら終了しちゃうでしょｗ 「１つ」って言ってんのに
じゃあ　a＝{(n+1)/(2n)}^(n+1)、b＝{(n+1)/(2n)}^n、n∈N　という形で表現出来ない有理数解の一例を挙げて下さい（僕自身が１つしか見つけられてませんけど）。　a^b＝b^a の方は例外がなかったのですが、a^b＝b^2aとすると例外が出てきますからね。

ヒント：反転して下さい。→「要はnが自然数じゃなくても、aとbが有理数になるケースがあるということです。無論、n＝b/(2a−b)という関係がありますから、nが無理数になることはないです。」
ヒント２：「sとtを互いに素な正整数として、(n＋1)/2n＝s/tなどと変換すると見通しが立ち易いと思います。aとbが有理数になるためには、sとtにはどのような制約が掛かるのでしょうか？」

るーびっくさんあてだったので囁きに書いちゃまずいかなと思ったんですが
今度こそ一つ
n=125/3

↑そうです、僕が見つけたのもそれです。
実際に代入して計算すれば、a＝(4/5)¹²⁸、b＝(4/5)¹²⁵ で有理数。
他にあるでしょうか？プログラム組めばすぐ見つかりそうですが、面倒いので、やってません。
今忙しいので、しばらくしたら僕も少し解説入れますね。

あっ、n＜−1 でも成り立つのを忘れてました。
a＝{(n+1)/(2n)}^(n+1)、b＝{(n+1)/(2n)}^n、n∈N　と、
a＝{2(m+1)/m}^m、b＝{2(m+1)/m}^(m+1)、m∈N (上のを、m＝−(n+1))
とか纏めるとスッキリしますかね。

2月3日(木)　追記
えっと、10日程経ちましたので補足説明を入れておきます。
ケンスーさんの式は僕はこうやって導きました。
a^b＝b^2a　この両辺を 1/b 乗すると、　a＝b^2a/b　　さらに両辺を b で割ると、　
a/b＝b^2a/b−1 となって、a/b＝t　などと置くと、　t＝b^2t-1　よって、　b＝t^1/(2t-1)

今度は　a^b＝b^2a　の両辺を 1/2a 乗して、　a^b/2a＝b　ここから両辺を a で割って、
a^b/2a−1＝b/a　先程と同様に、a/b＝t　と置換すれば、 a^1/2t−1＝1/t　で、式を整理していくと、
a＝t^{{1/(2t-1)＋1}} となり、a と b を t の関数(但し、t≠1/2)として表すことが出来ます。

ここで指数部分が整数になるように変形してやる、1/(2t-1)＝n(∈N)　と、ケンスーさんのと同じ式が出てきます。各自お確かめ下さい。

ついでに、有理数云々に拘らなくてもまだまだ考察余地はありますので、追加でこっそり問題を置いときます。問題： a と b は正実数であり、a^b＝b^2a　を満たしている。このときの a と b の関係を、a軸を横に、b軸を縦にとって、a‐b平面上に図示せよ。　2つの曲線が出てきます、暇な人はどーぞ。

るーびっくさんが、様々な派生問題を作ってくれました。ありがとうございます。では、ロックします。