なんか邪道っぽい解法ですが

F(a),F(b),F(c) (a＜b＜c) が等差数列をなしているとすると
2F(b)=F(a)+F(c)　…�@　が成立
明らかに0＜F(n)≦F(n+1)なので
�@より　2F(b)＞F(c)
定義より　F(c)=F(c-1)+F(c-2)≧F(c-2)+F(c-2)=2F(c-2)
よって　2F(b)＞F(c)≧2F(c-2) ⇔　b＞c-2　⇔　b+2＞c
b＜cと合わせて、b＜c＜b+2 ⇔　c=b+1
�@にc=b+1を代入して
2F(b)=F(a)+F(b+1) ⇔　F(a)=F(b-2)
従って、等差数列をなす３つのFibonacci数の組はF(n),F(n+2),F(n+3)のみである
また公差はF(n+1)であり、F(n)-F(n+1)＜0　F(n+3)+F(n+1)＜F(n+4)なので
４項以上からなる等差数列は存在しない
従って、最大は３項である