世界一の塔を建設しよう。

★立地
周囲の土地(海抜0[m]の低地である)から高さ1[m]にある1辺100[m]の平らな土地

★デザイン
次の条件を満たすような塔
・海抜h[m]で塔を水平に切った時の切断面をD(h)と呼ぶ。
・D(h)は正方形である。
・D(1)は1辺100[m]の正方形である。
・D(h)は1辺(100/h)[m]の正方形である。
・D(h)の重心はいずれもD(0)の重心の真上にある。これらを通過する直線を軸と呼ぶ。
・D(h)はD(1)を軸を中心に反時計回りに(h−1)[rad]だけ回転した後，相似変形したものである。
・内部に空洞はない。

★材質
1[cm³]当たり1[g]の固体物質

★建設時間
この建設者の技術力では，塔の最下部からh[m]のところ(注：海抜(h＋1)[m])に地面に水平な断面積S[m2]で微小高さΔh[m]の立体を作るのに要する時間はΔt[s]＝k[s/m⁴]×h[m]×S[m²]×Δh[m]であり，最新技術を用いればk＝2011であるという。今回用いるのは最新技術とのこと。

設問１
地面に水平にxy-直交座標平面を，鉛直にz軸をとった。塔の軸を原点，D(1)の頂点の1つA(1)を(50,50,1)とする。D(h)の頂点のうちA(1)に対応するものをA(h)とし，その座標を(A_x(h),A_y(h),h)とする時，A_y(h)/A_x(h)を求めよ。

塔のデザインを変更することになった。すなわち，更に丸みを出すために，現行案の塔を軸を中心に反時計回りに(π/4)[rad]だけ回転した時に塔が通過する部分を新たな塔の形にしようというのである。以下，この塔について答えよ。

設問２
限りなく，どこまでも続く，世界一の塔を！高さを無限大にしたい。必要な材料をそろえることは可能か。塔を完成することは可能か。有限であれば可能，無限であれば不可能とする。