これで。

久々の上陸です。 これでしょうか。

これだけかな

1から100まで検証しました。
ｎって無限にあるんでしょうかね？

1から100まで検証したけれど、ｎに該当する数が途中でプツリと無くなってしまったので、その数がｎの最高値なのかなーと思いました。

でもよく考えると…2011もｎに該当する数じゃんっていう。。。

↑ふつーに考えれば解かると思いますが、nがどういう値でも a と b の比は 2対1 ぐらいにはなるんですけどねぇ。(高校数学レベル。n→∞ で b/a→1/2 を示せ、とかさ。)

解がたくさんあるので簡単でしたね。少し早いですが解答です。

条件を満たす n は、小さい方から順に 1, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 18, 19, 21, ･･･ である。

ちなみに、10³ までで 155 個、10⁴ までで 1289 個、10⁵ まででは 10662 個、10⁶ まででは 93994 個あります。10⁶ 以下で該当する n の最大値は 999783 です。無限に存在するんでしょうか･･･?

つまり２＾aで割り切れて２＾(a＋１)で割り切れない数ってことですか？

2011!は2^2002で割り切れて2^2003では割り切れないということです

>>5 の簡易証明です。

えっと、大事なのは a と b の値を、
n - 1 - [log2_n] ≦ a ≦ n - 1
n/2 - 1 - [log3_n] ≦ b ≦ (n - 1)/2
と評価出来るという点です。(高校2年までの数学で導けます。)

a は n よりも少しだけ小さい値を取り(n が 10^3 超えても [log2_n] は 10 ぐらいです。)、
b は n の 1/2 よりも少しだけ小さい値を取るので、
a と b の比が常におおよそ 2 ： 1 になるのは当然ですよ、ということです。