これでおねがいします

約分してなかった。失礼しました。

こうでしょうか。

追加問題を

こうかな？

結構簡単でしたね･･･。では、解答です。

CD を 1 辺とする正三角形を描き、その三角形の C, D 以外の頂点を A' とする。A'D の中点を M' とすると、BP ＋ PM ＝ BP ＋ PM' となる。よって、求める最短距離は BM' の長さということになる。三角形 BDM' で、∠BDM' ＝ 90°, BD ＝ √3, DM' ＝ 1/2 より、三平方の定理を用いると、
　　BM' ＝ √(3 ＋ 1/4) ＝ √(13/4) ＝ √13/2
となる。

追加問題については、解法は様々だと思います。とりあえず、こちらで用意していた解法を紹介します。もう少し簡単な方法があるかもしれません。

三角形 ABQ ∽ 三角形 CPQ ∽ 三角形 DPM' より、DP ＝ a とおくと、
　　DM' : DP ＝ CQ : CP
　　1/2 : a ＝ CQ : (1 − a)
　　a CQ ＝ (1 − a)/2
　　CQ ＝ (1 − a)/2a
となる。また、
　　AB : AQ ＝ DP : PM'
　　1 : (3a − 1)/2a ＝ a : 1/2
　　(3a − 1)/2 ＝ 1/2
　　3a − 1 ＝ 1
　　a ＝ 2/3
となる。以上から、AQ ＝ 3/4, DP ＝ 2/3 であるから、AQ : DP ＝ 9 : 8。

図がないので分かりづらいですが･･･。