誰も参加しないね

どうでしょう？

>>2のコメントへの返信です。

> C-1のケースを考えれば
> 　　　　　３３３−−
> で十の位の桁が1,2,3,4どれであってもNGですよね？

おっしゃるとおりですが、それが私の回答の誤りを指摘しているとは思えません。

C-2,C-3からは、333から始まるケースは除外していますので、重複も抜けも無いと思います。

もしくは、問題文を読み違えているのかなぁ...。検算用のプログラムを作って確認してみますね。

(10/31 23:26 検算用プログラムは削除しました)

検算用のプログラムです。結果を囁きました。>>2の囁きと数が合っていると思います。もっと少なくなりますか？

(10/31 23:18 >>2の修正されたコメント及び、>>3,>>4のコメントを読んだ後の追記)

あ、合ってたんですね。よかった。

結構自信があったのに、当初「もっと少なくなる」とコメント頂いたので、気になってしまい、そうなると、今日のように時間がある時は、とことん調べないと気がすまない性格なのです。失礼しました。

確かに私のやり方だと、注意深く考えないと重複や抜けが発生しやすいと思います。他のもっとスマートな考え方がありそうですね。

検算用のプログラムは出題意図が見えてしまう可能性がありそうなので、削除しました。

【解答】
左からn番目に１が来る並べ方をa_n通り、３が来る並べ方をb_n通りとする。
すると、２は１と、４は３と条件が相同であるので、
左からn番目に２が来る並べ方はa_n通り、４が来る並べ方はb_n通りとなる。

――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
　□漸化式を求める
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

(i)左からn番目が１であるとき
　　　　　| n-1 | n |
　　　　　　１−　１
　　　　　　３−　１
　　　　　　４−　１
上図のように、左からn番目が１であるとき、
左からn-1番目は１，３，４のいずれかであるから、

　　　　　a_n=a_n-1+2b_n-1　　　　　　　(1.1)

(ii)左からn番目が３であるとき

　　　　　| n-2 | n-1 | n |
　　　　　　　１− ３ − ３
　　　　　　　２−
　　　　　　　　− １ − ３
　　　　　　　　− ２ − ３
上図のように、左からn番目が３であるとき、
(ii-1)左からn-1番目が１または２である場合
(ii-2)左からn-1番目が３である場合（左からn-2番目は１または２である）
の２通りがある。したがって、

　　　　　b_n=2a_n-1+2a_n-2　　　　　　　(1.2)

(1.1),(1.2)式より次の式が導ける。

　　　　　a_n=a_n-1+4a_n-2+4a_n-3　　　　　　　(2.0)


――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
　□初項、第二項、第三項を求める
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
(iii)初項について
左から１番目に１が来るのは、１のみ。
同様に左から１番目に３が来るのは、３のみ。よって、
　　　　　a₁=1　　　　　b₁=1　　　　　(2.1)

(iv)第二項について
左から２番目に１が来るのは、左から１番目が１，３，４のとき。
左から２番目に３が来るのは、左から１番目が１，２，３のとき。
　　　　　a₂=3　　　　　b₂=3　　　　　(2.2)

(v)第三項について
左から３番目に１がくるのは、(2.2)式を用いて
(v-1)左から２番目が１で３通り
(v-2)左から２番目が２で３通り
(v-3)左から２番目が３で３通り
の計９通り。
同様にして左から３番目に３がくるのは、(2.2)式を用いて
(v-4)左から２番目が１で３通り
(v-5)左から２番目が２で３通り
(v-6)左から２番目が３で、かつ左から１番目が１または２の２通り
の計８通り。したがって、
　　　　　a₃=9　　　　　b₃=8　　　　　(2.3)

ここで(2.3)式は(1.1)式および(1.2)式を満たしているのを確認できる。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
　□第四項、第五項を求める
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
漸化式(2.0)および(2.1)、(2.2)、(2.3)式より、
　　　　　a₄=a₃+4a₂+4a₁ = 25　　　　　　　(3.1)

　　　　　b₄=2a₃+2a₂ = 24　　　　　　　　　(3.2)

同様にして
　　　　　a₅=a₄+4a₃+4a₂ = 73　　　　　　　(3.3)

　　　　　b₅=2a₄+2a₃ = 68　　　　　　　　　(3.4)

求めるのは左から５番目に１，２，３，４がそれぞれ来る数え方を足し合わせたものなので、
総数をX通りとすれば
　　　　　X = 2(a₅+b₅) = 282

【答】２８２通り

【後日談】
この問題のミソは、
　　　　　a_n=a_n-1+4a_n-2+4a_n-3

という隣接四項間漸化式にあります。
この式を解けば、一般項(n個並べた場合の数え方)も求められます。
しかし、隣接四項間漸化式は解く事ができるものの、
一般解は隣接三項間までの場合と比べてはるかに（無茶苦茶 ）複雑になります。

たぬきおやぢさんが解答されたように考えるのが、
５桁程度であるなら数えあげられるので、漏れや重複に気をつければ、
シンプルかつスマートな解答になりますね。

あるいは解答の(2.1)(2.2)(2.3)式を考えた手順を踏襲すれば、
樹形図を使ってあっという間に数え上げることもできます。
このような問題では是非試してみてください。