ヒミツ

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複素冪関数の定義を、exp:複素指数関数, Log:複素対数関数 として
z^α＝exp(αLog z) とする。また、以後 n∈Z とする。

(1)
i^i ＝ exp(i Log(e^iπ/2)) ＝ exp(i)(log(1)+i(π/2+2nπ)) ＝ e^-(π/2+2nπ)
これは実数の実数乗の形なので、実数となる。

(2)
(-1)^-i ＝ exp(-i Log(e^iπ)) ＝ exp(-i)(log(1)+i(π+2nπ)) ＝ e^(π+2nπ)
よって、e^π(Gelfond の定数)は(-1)^-i の主値。
そもそも指数法則の前提を満たしていないので、指数法則は使えない。
(-1)^-2i ＝ exp(-2i Log(e^iπ)) ＝ exp(-2i)(log(1)+i(π+2nπ)) ＝ e^2(π+2nπ)
なので、成り立たない。

(3)
不定値は、単に"値が定まらない"だけであって、定義のあるなしは関係ないです。
実際、虚数の虚数乗は、複素冪関数で定義されますが、複素冪関数は本来多価関数ですので、
多価という意味での不定値となります。（分岐に制約を加えれば一価関数にもできますが。）

問題は、指数法則 a＞0,b,c∈R ⇒ (a^b)^c＝a^(b*c) の後件部が成り立たない、
a＜0,b,c∈R の例を見つけることだと思いますので、
(-1)^(2*(1/2))＝-1
ですが、
((-1)^2)^(1/2)＝±1 (主値なら1)
で、これが異なる一例となります。

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実関数と複素関数を明確に区別しないまま、問題に出されるのは混乱を起こさせるだけかもです。
実関数の冪[^]と複素関数の冪[^]とは記号が一緒でもドメインが違いますので、
例えば、複素冪関数で考えると、
2^(1/3)＝2^(1/3)(cos(2nπ/3)+ i sin(2nπ/3))
ですが、もしこれを実関数の冪と混同すると、等号がおかしなことになり、
混乱の元になります。
虚数だから不思議なことが起きているのではなく、
複素関数と実関数を明確に区別していないから、不思議なことが起きているのだと思います。

ヒミツ

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(1).オイラーの公式にθ=π/2+2πxを代入して、(xは整数)e^(π/2+2πx),i^i=e^(π/2+2πx)となるから、確かに不定値であり、実数である。-の場合は嘘をのべておりました^^。他のは友人も使って吟味しておりますが、未だに進展が…