適当で

ゴールから逆算してみました。
たぶんあってるとおもうんですが・・・

じゃ、これで

なんかややこしそうなので敬遠されてる感があるため、
少しだけこの問題のヒントを書こうと思います。

このような類の問題はまず規則性を探るために、
いくつかの試行をしてみることが大事になります。
【１】
まずこの問題を解くキーはボタンbです。
ボタンbを５回押すと次のようになります。
タンクに入っている水の量を(A,B,C,D)のように表せば、

０．　　　　　(0,0,0,0)
１．　　　　　(2,1,3,0) b
２．　　　　　(4,2,1,5) b
３．　　　　　(1,3,4,10) b
４．　　　　　(3,4,2,15) b
５．　　　　　(5,5,5,15) b

です。あとDが5L入れば成功というわけですが…、
排水もうまく使ってなんとか20Lに持っていけそうですね。

【２】
もしも、ｎ回目の操作でこんなパターンだったら…

　　ｎ．　　　　　　(5,5,5,0)
ｎ＋１．　　　　　(1,1,5,10) a
　・
　・
ｎ＋５．　　　　　(5,5,5,10) a
ｎ＋６．　　　　　(1,1,5,20) a
　・
　・
ｎ＋10．　　　　(5,5,5,20) a

ということも可能ですね。

【３】
さらにa→b→c→dとするとどうでしょうか？

０．　　　　　(0,0,0,0)
１．　　　　　(1,1,0,0)　a
２．　　　　　(3,2,3,0)　b
３．　　　　　(3,4,3,0)　c
４．　　　　　(4,4,4,0)　d

さらにもう１ループさせてみると、

４．　　　　　(4,4,4,0)
５．　　　　　(5,5,4,0) 　a　
６．　　　　　(2,1,2,15) b
７．　　　　　(2,3,2,10) c
８．　　　　　(3,3,3,5)　 d　

というわけで、いくつかの規則性が見え隠れしてきます。
あとはうまく成功への手順を考えてみてください。

【答えの解説】
ちょっとややこしかったか、
正解者が一人しかいませんでしたが、
この問題はたくさんの別解が存在すると思います。
別解が見つかった方は是非ご投稿下さい。

さてここでは答えの一例をあげておきます。

ヒントの内容を繋げれば、
(a)押さないボタンがあってもよい場合

0．　　　　　(0,0,0,0)
1．　　　　　(0,2,0,0)　 c
2．　　　　　(0,4,0,0)　 c
3．　　　　　(0,1,0,5)　 c
4．　　　　　(0,3,0,0)　 c
5．　　　　　(0,5,0,0)　 c
6．　　　　　(2,1,3,5) 　b
7．　　　　　(4,2,1,10) b
8．　　　　　(1,3,4,15) b
9．　　　　　(3,4,2,20) b
10．　　　　(5,5,5,20) b

(b)少なくとも１回は全てのボタン(a,b,c,d)を押す場合

0．　　　　　(0,0,0,0)
1．　　　　　(1,1,0,0)　 a
2．　　　　　(3,2,3,0)　 b
3．　　　　　(3,4,3,0)　 c
4．　　　　　(4,4,4,0)　 d
5．　　　　　(5,5,4,0) 　a　
6．　　　　　(2,1,2,15) b
7．　　　　　(2,3,2,10) c
8．　　　　　(3,3,3,5)　 d
9．　　　　　(3,5,3,0)　 c
10．　　　　(4,5,4,0)　 d
11.　　　　 (5,5,5,0)　 d
12.　　　　 (1,1,5,10) a
13.　　　　 (2,2,5,10) a
14.　　　　 (3,3,5,10) a
15.　　　　 (4,4,5,10) a
16.　　　　 (5,5,5,10) a
17.　　　　 (1,1,5,20) a
18.　　　　 (2,2,5,20) a
19.　　　　 (3,3,5,20) a
20.　　　　 (4,4,5,20) a
21.　　　　 (5,5,5,20) a