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ひたすらsin(sin(sin(sin・・・

難易度：★★★★ 　

Argentum 2010/09/10 22:09

以下の三角関数の問題は自身への反復合成写像によって得られるものです。
【問題】に対してNo1に【解答】を示します。
その是非について述べてください。
なお【解答】では厳密性は追求しておらず、
皆様によるより厳密性の高い新しい【解答】をお待ちしています

赤字は修正です。

【問題】
整数n,mについて関数列{An(x)}を以下のように定めます。
ただし、x≧mπとします。

　　　　　A₁(x) = sinx
　　　　　A₂(x) = sin(sinx)
　　　　　　・
　　　　　　・
　　　　　　・
　　　　　An(x) = sin(sin(sin(・・・sin(sinx)・・・)))

これらは、n≧2で微分方程式

　　　　　y - y'tanx + ∫[mπ→x](y'(tanx)^2 + y''tanx) dx = 0

の解であることを示しなさい。ただし、
y'、y''はそれぞれxに関するyの１階微分、２階微分とします。

ヒント	【微分方程式とは名ばかりです。】
ヒント	【実は式変形です。】

	【No1以降をコメントも漏らさず読んでみてください。この問題は数学的なとんちです。】

ヒントが2つあるよ

回答募集は終了しました。

▲ △ ▽ ▼ No.1

Argentum 2010/09/11 19:55

【解答】
　　　　　An(x) = sin(An-1(x))
とおけます。したがってn≧2のとき、
　　　　　{An(x)}' =　cos(An-1(x))・{An-1(x)}'
　　　　　　　　　　 =　Π[k=1→n-1]cos(Ak(x))・{A1(x)}'
　　　　　　　　　　 =　Π[k=1→n-1]cos(Ak(x))・cosx
すなわち、(※1)
　　　　　{An(x)}' / cosx = Π[k=1→n-1]cos(Ak(x))
この両辺を区間[mπ,x]で積分して(※2)
　　　　　An(x) = ∫[mπ→x] Π[k=1→n-1]cos(Ak(x))・{sinx}' dx
　　　　　　　　　= {An(x)}'tanx - ∫[mπ→x]{{An(x)}' / cosx }' sinx dx
　　　　　　　　　= {An(x)}'tanx - ∫[mπ→x]({An(x)}'(tanx)^2 + {An(x)}''tanx)dx
よって
　　　　　An(x) = y
とおけば求める微分方程式
　　　　　y - y'tanx + ∫[mπ→x](y'(tanx)^2 + y''tanx)dx = 0
となり、An(x)はその解です。

(※1)
厳密さを追求するなら
　　　　　cosx = 0
となる場合、すなわち
x = π/2 + nπ
の場合分けが必要となります。

(※2)
No2を受けて修正。
詳しくは以下を参照してください。

▲ △ ▽ ▼ No.2

積分範囲がわからないので、[a,x]と仮定しました。 　y - y'tanx + ∫(y'(tanx)^2 + y''tanx) dx = 0 の左辺を微分すると、 y'-y''(tanx)-y'/(cosx)^2+y'(tanx)^2+y''(tanx)=0 となり、上の式の左辺は定数であることがわかる。 f(x)= y - y'tanx とすると、y=An(x)で、f(a)=0が証明できればよいことになる。 A2(x) = sin(sin(x)) A2(x)' = cos(sin(x))*cos(x) だから、f(x) =sin(sin(x))-sin(x)*cos(sin(x)) このとき、f(x)=0の解はおそらくx=nπのみだと思いますので、 結局積分範囲は[nπ,x]のときに問題の式が成り立つのではないでしょうか。

みや 2010/09/12 07:41

題意と違うと思いますが、一応・・・ (^^;)

【追記】
なんとなくもったいぶったような書き方になってしまったみたいですみません。

まず、ほかの方もおっしゃってるように、不定積分では方程式にはなりません。
不定積分ですと、No.1の式の「～を積分して」というところに、正しくは積分定数を足す必要があります。
問題文にキチンと積分範囲を指定していれば、上に書いた方法で十分に厳密な解法だと思いますよ。
An(x)-An(x)'tan(x) が、あるx（積分項が0になるようなx）で0になることを示す。

Argentum 十分性について検討するときに積分区間が必要ですね。 (^^;)

ありがとうございます。

雲行きが怪しい (^^;)

ので、出題方法を変えます。

【追伸】
積分範囲を修正しときますね。

厳密な解答をいただくのも（そう書いてありますからね）そうなのですが、
出題者の意図する本当のところは、
みやさんはもうお気づきでしたね。

▲ △ ▽ ▼ No.3

るーびっく 2010/09/13 00:25

うーん、何故敢えて　y＝sin(sin(sinx…)))　という関数を持ってくるのか解らないんですが… (^^;)

(いや、そこは引っかけなのかもしれませんが (+_+)

)　

No.1の式変形についてですが、どんな関数y(x)であっても、y'(x)＝{y'(x)/cosx}*cosx　　と変形して右辺を物凄くややこしく積分すれば、同じになりますよねという。それと、不定積分で積分方程式を記述してしまうのは、少々不味いような気がします。

↓あれ…そういうことだったのですか (;v;)

　実は素ボケなのかと。でもNo.2で解答したみやさんも、おそらくそれは解って居られるのでは(「定数」と言ってる時点で…)。

追記：あ、閉まってた (^^;)

　(No.1の(※1)について。)　例えば、
∫[x:0→3π/4]tanx・dx＝[－log|cosx|]₀^3π/4＝(1/2)・log_e2

などと、こんな計算をして良いのか？という話な訳ですけど、その辺りは「コーシーの主値(積分)」とかなんかそんな話があるようで(ぉぃ　調べれば色々出てくるかと思いますので、参考までに。

Argentum うわ (^^;)

こんなに速く真理に到達する方がいらしたとは…
脱帽です (;o;)

実は問題を修正する前に　数学的なとんち　と表現したのはこのことなのです。
微分方程式と聞けば微分方程式を解きたくなるものですが、
この微分方程式はなんだかおかしい…となるはずです。
そして関数列側から計算していくのですが、
簡単な関数ならすぐに気づくことができますが、
見るからに変てこな関数だとそうもいかないバイアスが働き、
ただの式変形であることに気づきにくくなります。
なかなかクイズらしい問題に仕上がりました。 (^o^)