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 解けない積分ってなんなのさ？
難易度：★★
 Argentum
2010/09/08 21:30
はじめて投稿する者ですが、
クイズ大陸の問題はいつも楽しませてもらっています。  あまりクイズっぽくないですが、 最近ハッとした数学の内容を１題… ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― ある関数の積分について 初等的に解くことができる とは 積分記号を外して初等関数で表現できる ということにします。（厳密ではありませんが…） 初等関数とは、複素数を用いた対数関数、指数関数、多項式によって得られる関数で、 sinx、cosx、tanx、arccosx、arcsinx、arctanx、logx、e^x… などのいわゆるよく目にする関数で、当然これらを組み合わせた arcsin(log(sin(e^x))) なんかも初等関数で表現していると考えます。 さてここで積分について 例えば、Cを積分定数とすると ∫cosx dx = sinx + C これは積分記号を外して初等関数で表現できるので、 初等的に解くことができるといえます。 ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 少々天下り的ですが、本題です。
 ヒントが1つあるよ |
回答募集は終了しました。
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部分積分(①)と置換積分(t=sin(x))(②)を用いれば、
∫cos(x)arccos(x)dx = sin(x)arccos(x)+∫sin(x)/√(1-x^2)dx …① ∫sin(sin x)dx = ∫sin(t)/√(1-t^2)dt…② ①,②より、明らか。 
求められている方法と激しく違う気がしますが・・・
 
Argentum
正解です
そのポイントに気づけば簡単ですね ∫sin(sinx)dx について。 sinx＝t と置換すると、cosx・dx＝dt、
cosx＝±√(1－(sinx)^2)＝±√(1－t^2) だから、 ∫sin(sinx)dx＝±∫{sint/√(1－t^2)}dt と変形出来る。 ∫cosx・arccosx・dx について。 部分積分法により、 ∫(sinx)'・arccosx・dx＝sinx・arccosx＋∫{sinx/√(1－x^2)}dx と変形出来る。 (注：arccosxを微分すると、－1√(1－x^2) である。) 従って、∫cosx・arccosx・dx が初等的に積分出来ない、 ⇔∫{sinx/√(1－x^2)}dx が初等的に積分出来ない、⇔∫sin(sinx)dx が初等的に積分出来ない。
んー、ちゃんとした証明になってるのか解りませんが
 こんな感じでどうでしょう？
Argentum
正解です
ばっちり説明されてますね
割とあっさりめの問題なので、
埋もれないうちに解答を公開します。 この問題の背景は∫sin(sinx)dxが なんとか解けないものかというところからきています。 でもcosx arccosx に阻まれてしまうんですよねー。 dx = dt/cosx = dt/√(1-t^2) =(arcsint)'dt dx = dt/cosx = dt/√(1-t^2) =(-arccost)'dt として２通りを連立する方法も試しましたが、 arccosx + arcsinx = 定数（＝π/2） という関係が出てくるだけでそれ以上の進展はありません。 私の数学力ではここまででした… 実はΓ関数と関係があるとか、 この積分について何か分かりましたら、 是非ご教授のほどよろしくお願いします。
最近やけに忙しくて，本当に久々上陸しました．
興味の的である sin(sin(x)) は，明らかに周期 2π を持つ奇関数ですから， フーリエ正弦級数で表現すると性質が分かり易そうです． 実際に求めてみると，第 1 種ベッセル関数という特殊関数 Jn(z) を用いて， sin(sin(x)) = 2 J1(1) sin(x) + 2 J3(1) sin(3x) + (-94 J1(1) + 360 J2(1)) sin(5x) + ... のように求められます． 第 3 項以降は絶対値が 1/1000 以下のようですので，実質上 sin(sin(x)) ≒ 0.880 sin(x) + 0.039 sin(3x) と考えてよいと思います．これなら積分も簡単ですね． なお，第 1 種ベッセル関数は，２つの特殊関数，Γ関数と超幾何関数を用いて表せます． そういう意味では，Γ関数と関係ありますね．
Argentum
お忙しい中ご回答ありがとうございます。
なるほど。フーリエ級数展開からsin(sin(x))の近似式を求めて、 そこから積分するという手法ですね。 sin(sin(x))はやはり特殊な関数と連動するのですね。 ベッセル関数 Jα(x)= Σ[m=0→∞](-1)m(x/2)2m+α/{m! Γ(m+α+1)} を用いて以下の近似式 sin(sin(x)) ≒ 0.880 sin(x) + 0.039 sin(3x) が得られて、 ∫sin(sin(x)) dx ≒ -0.880cos(x) -0.013cos(3x) +C ということですか。なんかの解析に使いたいですね
もう少し先まで計算してみました．あと 2 項を使って，
sin(sin(x)) ≒ 0.880101171 sin(x) + 0.039126708 sin(3x) + 0.000499515 sin(5x) + 0.000003005 sin(7x) とすると，誤差は 10-8 = 1/100,000,000 程度ですね． また見て分かるように，sin(5x) の項まででも 3x10-6 程度の誤差です．
Argentum
ありがとうございます。  sin(sinx)を用いるような状況てどういうものなのでしょうかね。 |
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