うーん…　(’-)、
がんばればいくらでも並びそうな…
もしかしたらどこかで終わりそうな…

私もまだ行くと思っていますが…
考えるのが面倒なのでいったんここで終了です。　

僕の脳みそにピロリ菌を混ぜた　刺客が居るようじゃ〜
(___ ___ ;)尸マイリマシタ・・・

そうだなぁ。
法則か何かあればプログラム組んで調べるんだけどなぁ。
同じパターンが続かないように…でしょう…？　(’-)、

苦手なので　説明が下手でお恥ずかしいのですが、
如何でしょうか？
↓　ほんとだ、色々勘違いしてました 。

大変面白いですが、手ごわい問題ですね。

試しに12から始めて（対称性があるので、最初の2つは12に固定してもかまわないはず）、可能なパターンを全て列挙しながら長さを増やしてみましたが、長さ10くらいで手に負えなくなってきました。枝分かれの数は1.5より少し小さい数の指数関数になりそうです。

破綻するケース(1213121など次にどの数字が来てもアウト)は意外に少なく、無限に長くできそうな感触は持ちましたが、具体的な手順は思い浮かびません。

fortranでプログラミング組んで調べてみたら5000桁までは続きました／(^0^)＼
(配列や条件反復を上手く組み合わせればアルゴリズムを作るのはそんなに難しくはないと思います、簡単でもなかったですが。)
それ以上は調べてないので何処まで続くかは解りませんし、コンピューターでは無限に続くことの証明はしてくれません
一応、囁きではパソコンで解析した結果の200桁目まで張っておきます。

知ってる話で、答えは直ぐわかったのですが、それを示すのが大変でした
置換：<br>⇒\n (改行) お願いします

囁き訂正：
�@の部分
誤) n≡0 　正) n≡1

�Bの部分
不要)�Aより

うーん、難しいです。無限に続くようには思うんですけどね。

あと、あまり本解の解決にはならないかもしれませんが、No.6の数列がどのような過程で算出されたものなのか？も囁いておきます。長々しく効率も良い気がしないのですが、要は「左側から出来る限り小さい数字を配置して出来た数列(←解りにくいですね )」だと解釈して貰えれば良いかと。

>>8 のコメント。倍近く長くなりますが、「明らか」とかした部分も抜かさずに、
ちょっとした説明も添えてみました。>>8 よりは解りやすいかと思います。
余り見直してないので、少し書き間違いはあるかも・・・

やっぱりNo.10 見直したら、ちょっとした書き間違いが結構ありました。
No.10のコメントに書くと、<br>がつくみたいなので、新たにコメントします。

正解発表

です。
あまりスマートではないので、恥ずかしながらですが…。

まず123で始まり、かつ後ろに123が来ても問題のないパターンを並べていく方法を思いつきました。
�@12312132　�A1231213　�B12313213
�C1231323　�D123132　�E123213　�F1232
以上の７つのパターンを思いつきました。�@から�Fはどれも123で始まり、その後ろに123が来ても問題のない塊ですので並べやすそうです。これらを並べていくことで、長い列が作れると考えました。

しかしそれぞれに相性があり、たとえば�Aの後ろに�@が来ると問題があります。
�@は�D�F、�Aは�@�E、�Bは�@�A�E、�Cは�@�A�B�D、�Dは�B�C�F、�Eは�@�A、�Fは�E
が後ろに来てはいけないし、さらに�D→�@→�Aや｛�A,�E｝→�B→｛�C,�D｝という並びが駄目であることがわかります。
考えていなかった駄目な相性に気が付きましたので、追加（10月2日16：00）
�E→�B→｛�C,�D｝、�F→�@→�A、�F→�D→｛�@,�A｝
以上の問題になる並べ方を避けて並べていけば、かなり長いものが作れると考えました。

さらに、この７つのうち３つを選んで、たとえば�@�B�Dを選んだとして、1を�@に、2を�Bに、3を�Dに、置き換え、数字に直し、さらに置き換えることで無限に長くできるのではとも考えました。
こんな感じです。
123
�@�B�D
1231213212313213123132
�@�B�D�@�B�@�D�B・・・
・・・・・
しかしどの３つを選んでも、相性に問題がありました。その３つは、この問題でいう問題のない並べ方で並べたあらゆる時に、その中の1,2,3が問題ない並び方をするものでなければならないのです。

そこで考えたのが、�@�Aのようにセットを作る方法でした。
このセットの考え方でもって、条件に合う３つを探すと、ありました。
�B�F,�C�E，�D�Aです。
A＝�B�F＝123132131232
B＝�C�E＝1231323123213
C＝�D�A＝1231321231213

A,B,Cは、
この問題でいう問題のない並べ方で並べたあらゆる時に、その中の1,2,3が問題ない並び方をします。

ですので、思いついたやり方のように、
１をA、2をB、3をCに置き換え、A,B,Cをそれぞれ数字に直す、ということをを繰り返すことで無限に長くすることができるのです。
123
ABC（１をA、2をB、3をCに置き換えた）
12313213123212313231232131231321231213（A,B,Cをそれぞれ数字に直した）
ABCACBACABCBABC・・・（１をA、2をB、3をCに置き換えた）
・・・・・

まだNo.12をちゃんと読めてないですが、ゲーテルさんの回答とかも見てみたいです
ついでにNo.9も開けといてくれれば幸いです(別に見られたい訳じゃないんですが、出力結果だけを見せられるのは普通気持ち悪いものだと思うので。)プログラムコードは求められれば貼ります。
ちなみに自分のやった方法だと桁数の3乗に計算量が比例する感じなので、1000桁の文字列を作るのに5秒ぐらいでしたが5000桁だと1分近くかかっていました。


↓いえ…飽きていたというより諦めていて解答を待っていたところでした 　No.12は多分正しいようには思うんですが、微妙に不十分というか怪しい気もしますよね…。「A、B、Cをルールに則って並べると、その中の1、2、3もルールを満たす。」のところに、も少し説明が欲しい感じがします。

>>13
No.8は brタグが入ってしまったので、見にくくなっているため、ここに書き直してみます。
subタグが見にくくなるので、No.8 の囁きの s と t を入れ替えてみました。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

[解答] 無限に長くできる。
[証明]
t₀= 0,　 t_2n = t_n, 　t_2n+1 = 1 - t_2n
によって定義される、{0,1} 上の無限列 T ＝ t₀t₁t₂... を考える。
T = 01101001100101101001011001101001...

�@【 t_n ＝ t_n+1 ⇒ n ≡ 1 (mod 2) 】(定義より、明らか。)

�A【 T には 000 も 111 も現れない。】(�@より、明らか。)

�B【 T の長さ5 の任意の連続部分列に必ず 00 か 11 が現れる。】
もし 00 か 11 が存在しないとすると、01010 か 10101 となるが、
定義より、t_4nt_4n+1t_4n+2t_4n+3 ∈ {0110,1001} なので、不可能。

�C【 t_n ＝ t_n+m ＝ t_n+2m ∧ t_n+j ＝ t_n+m+j (0＜j＜m) を満たす
　　 n, m (n≧0, m＞0) は存在しない。】
仮に存在したとして m が最小のものについて考える。
まず、�Aより、m は 1 ではない。
また、m は 1 より大きな奇数でもない。なぜならこの時、
t_n...t_n+2m は長さ 7 以上になるが、�Bにより 00 または 11 が現れることになる。
t_n...t_n+m ＝ t_n+m...t_n+2m なので、その 00 か 11 は２度現れ、
その距離は丁度 m であるが、m は奇数なので、どちらかは�@に反する。
更に、m は 偶数でもない。なぜなら、n が偶数の時、T の定義 より、
n→n/2, m→m/2 としたものも明らかに�Cの条件を満たす。
また、n が奇数の時も、T の定義 より、n が偶数の時と全く同様にして、
n→(n-1)/2, m→m/2 としたものが明らかに�Cの条件を満たす。
これは m が最小である仮定に反する。
以上により、m は 1以上の整数になり得ず、矛盾する。

[定理]【 繰り返しのパターンが現れない{0,1,2}上の無限列 S が存在する 】
S を、T の 0 から次の 0 までの 1 の個数を順に記した数列とする。
S = 210201210120210...
�Aにより、S は {0,1,2}上の無限列である。
仮に、S に繰り返しのパターン XX (X＝x₀...x_n) が現れたとすれば、S の定義より
01^x₀01^x₁...01^x_n01^x₀01^x₁...01^x_n0
が T の中に現れることになるが、これは�Cに反する。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
数列 T は、Thue-Morse 数列と呼ばれています。
良く知られている、他の繰り返しパターンを含まない簡単な例は、
初期状態 0,　置換規則 0→012, 1→02, 2→1
を適用していく数列　01202101210201... で、この数列に、
置換規則：0→011, 1→01, 2→0
を適用したものが、T になることも知られています。

正解発表の補足をします。
（書きかけ、少々お待ちを。）

まず、�@から�Fのダメな相性について。
123〇・・〇の〇・・〇の部分を(a)、(b)などと表します。
〇・・〇（123を除いた部分の先頭から連続する部分）を(a)の前部、
〇・・〇（後尾から連続する部分）を(a)の後部などと呼ぶことにします。

（０）当然ながら、�@�@や�@�A�@�Aなどの問題ある並べ方はダメな相性です。以下はこの場合を除いて・・・

（１）123〇・・〇という形が部分的であれ２個関係する場合
（１.１）(a)＝(b)の前部のとき、
123(a) 123(b )で同じパターンが連続します。
�A→�@、�D→｛�B,�C｝、�F→�E
（１．２）(a)の後部＋1＝23＋(b)の前部、または(a)の後部＋12＝3＋(b)の前部のとき、
123( a)1 23(b )または123( a)12 3(b )で同じパターンが連続します。
�C→｛�@,�A,�B,�D｝、�B→｛�@,�A｝、�E→｛�@,�A｝

（２）123〇・・〇という形が部分的であれ３個関係する場合
（２.１）(a)＝(b)の後部のとき、
123( b)123 (a)123 …で同じパターンが連続します。
�@→｛�D,�F｝、�A→�E、�B→�E、�D→�F
（２.２）(a)を二分した時に(a)の前半＝(c)の前部、(a)の後半＝(b)の後部のとき、
123( b)123(a a)123(c )で同じパターンが連続します。
�D→�@→�A、｛�A,�E｝→�B→｛�C,�D｝
（２.３）(a)を二分した時に(a)の前半＝(c)の前部、(a)の後半＝3+(b)のとき、
12 3(b)123(a a)123(c )で同じパターンが連続します。
（23+(b)も考えられるが、�@から�Fの〇・・〇に23を含むものがないので良しとする。）
�E→�B→｛�C,�D｝、�F→�@→�A、�F→�D→�A

（３）123〇・・〇という形が部分的であれ４個関係する場合
（３.１）(a)を二分した時に(a)の前半＝(c)＋1、(a)の後半＝(b)の後部のとき、
123( b)123(a a)123(c)1 23…で同じパターンが連続するが、どれも（２）で解決済み。
（３.２）以下のような場合で同じパターンが連続することはない。
1 23(b)123(a a)123(c)1 23…　（(a)に123が含まれる）
1 23(b)123(a a)123(c)12 3…　（(a)に1223が含まれる）
12 3(b)123(a a)123(c)1 23…　（(a)＝(c)13(b)はない）
12 3(b)123(a a)123(c)12 3…　（(a)に123が含まれる）
（３.３）以下のような場合で同じパターンが連続することはない。
123( a)123(b)1 23(c)123(d )　（(a)の後部＝23(c)はない）
123( a)123(b)12 3(c)123(d )　（(d)の前部＝(b)12はない）
（３.４）(a)＝(c)、(b)1＝(d)の前部のとき
1 23(a)123(b)1 23(c)123(d )で同じパターンが連続するが、
�B�F、�C�E、�D�Aとペアにしているので、（０）で解決済み。

（４）123〇・・〇という形が部分的であれ５個以上の奇数が関係する場合
123(a₁)123(a₂)…123(a_n+1/2-1)123(a_n+1/2)123(a_n+1/2+1)…123(a_n-1)123(a_n)とすると、
123(a₂)…123(a_n+1/2-1)＝123(a_n+1/2+1)…123(a_n-1)となるが、�B�F、�C�E、�D�Aとペアにしているので
（123(a₂)が�Bや�Cや�Dなら123(a_n+1/2+1)は�Fや�Eや�Aになるので）、（０）で解決済み。
（イメージとしては３個関係する場合の間に入れ込む感じです）

（５）123〇・・〇という形が部分的であれ６個以上の偶数が関係する場合
123(a₁)123(a₂)…123(a_n/2-1)123(a_n/2)123(a_n/2+1)…123(a_n-1)123(a_n)とすると、
123(a₁)…123(a_n/2-1)＝123(a_n/2+1)…123(a_n-1)（（３.４）のに入れ込んだようなとき）または、
123(a₂)…123(a_n/2-1)＝123(a_n/2+1)…123(a_n-2)（（３.１）のに入れ込んだようなとき）となるが
�B�F、�C�E、�D�Aとペアにしているので、それぞれ123(a_n/2)＝123(a_n)、123(a₁)＝123(a_n/2)または123(a_n/2)＝123(a_n)となり、（０）で解決済み。