ちょっと求め方を変えて
y=ax^2 +bx+cとy=(tanθ)xで囲まれる面積をy=(tanθ)xを軸に一回転してできる体積Vを求めてみてはどうですか？
y=ax^2 +bx+c ,y=(tanθ)x,a≠0,b^2 -4ac>0, 0<θ<π/2

計算したら
V=∫【α→β】(π/2asin^4θ)[{(b^2 -2ac)sin^2θ +2bsinθcosθ +cos^2θ +2a^2x^2sin^2θ +2axsinθcos^2θ +2axsinθ 2abxsin^2θcosθ}±(2axsinθcosθ +bsinθ +cosθ)√{4axsinθ +(b^2 -4ac)sin^2θ +cos^2θ +2bsinθcosθ}]dx

画像データです。計算ミスあったら教えてください。
http://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/147047.rar