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受験対策A

難易度：★★★★ 　

Σ 2010/08/16 12:11

私は受験生です。だから毎日、勉強をする事が自然と私の日課となっています。
それで、問題を解き続けているわけですが、今日はそのうちの一つを出題しようと思います。

問　lim(x→0)e^-2x -1+ax/x^2=2の時、定数aの値を求めなさい。(解き方も併せてお願いします。)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　




	【2】

回答募集は終了しました。

▲ △ ▽ ▼ No.1

f(x)＝e^(-2x)－1＋ax　　　g(x)＝x^2　　　と置くと、
df(x)/dx＝－2e^(-2x)＋a　　　dg(x)/dx＝2x
d/dx{df(x)/dx}＝4e^(-2x)　　　d/dx{dg(x)/dx}＝2

『a＝2』(←これが回答)のとき、
f(0)＝g(0)＝df(0)/dx＝dg(0)/dx＝0　　　
d/dx{df(0)/dx}＝4　　　d/dx{dg(0)/dx}＝2　だから、ロピタルの定理により、
lim[x→0]f(x)/g(x)＝lim[x→0]f'(x)/g'(x)＝lim[x→0]f''(x)/g''(x)＝2　となる。

るーびっく 2010/08/16 21:12

んー () がないので、イマイチ式の意味が良く解りませんでしたが、
lim(x→0){e^(-2x) －1＋ax}/x^2＝2　と解釈して解きました。
囁きではロピタルの定理使ってますが、でもこれ受験で使ったら駄目ですよね確か (^^;)

Σ 実は私もそのような解答をしました。 (○。○)

その問題に関する解答があったのですが、かなり長いもので、わかりにくいものでした。それで、解答者の皆さんがどう答えるのか見てみようと思って、このクイズ大陸に載せました。

るーびっくさん、本当に素晴らしい解答でした。正解です！ (＞o＜)

一応、ロピタルの定理は高校数学の教科書に応用として載っています。

▲ △ ▽ ▼ No.2

るーびっく 2010/08/16 22:03

↑んー、恐らくその解答では(というよか、受験数学で考えれば)、
f(x)＝e^(-2x)　の二次導関数の定義を考えれば良いのかなぁ… (-へ-;)

と思います、
がちょっとぱっとは解らないので、暇が出来たら考えてみます。

追記：ロピタルの定理を使わない方法が案外難しかったのでヒントくだしあ(^q^)、
その解答ってどんな感じなんでしょう？

ボムボムさん＞↓それはもしかしてマクローリン展開…？

Σさん＞うーんと、公式と言うとどれのことでしょう？