問題1と2とは少し趣の異なる図形問題を解きましょう！

問題3　テーマ『図形』

問1(300点)
次のような三角形の(総)面積を求めよ。

(甲)A(1，2)，B(2，3)，C(3，1)を頂点とする三角形(100点)

(乙)重心の座標が(1，1)で，原点を頂点にもつ正三角形(100点)

(丙)4直線：x²-y²＝0，x＝3，y＝2によって囲まれてできる三角形(100点)


問2(200点)

AB²＝16，BC²＝18，CA²＝20である三角形がある。OA，OB，OCのうち最大であるものが最小となるような三角形ABCの配置を全て考える。

このとき，A，B，Cはそれぞれ曲線を描く。それぞれが描く曲線の式を求めよ。ただし，Oは原点である。


問3(200点)
x²＋y²＝1，y≧xで表される半円周の端点をA，Bとする。半円周上のA，Bとは異なる，異なる2点C，Dをとる。ただし，AC＜ADとする。

弧AC−弦AC＋弧CD−弦CD＋弧DB−弦DB

が最小となるようにCとDを定めよ。


問4(300点)
次のものを求めよ。

(甲)問1(甲)の三角形の内接円と外接円の面積比(100点)

(乙)問1(乙)の正三角形を，原点と重心を結ぶ線分上の点Pで，OP＝1の点のまわりに一回転してできる図形の面積(100点)

(丙)問1(丙)の三角形をx軸のまわりに一回転してできる立体の総体積(100点)


問5(200点)
次は正しいか(結果だけで良い)。

(甲)重心のまわりに一回転してできる図形が円となる三角形は正三角形だけである。(100点)

(乙)平面上のある一点のまわりに一回転してできる図形が円となる三角形は正三角形だけである。(100点)


問6(400点)
一辺の長さが1の正四面体Aから，各辺の中点を結んでできる立体を取り除いて得られる立体をA₁とする。

A₁を構成するそれぞれの立体に対して同じ操作をして得られる立体をA₂とする。

同様にしてA₃ ，A₄ ，…，A_nが得られる。A_nの体積をV_n，表面積をS_nとする。

(甲)1回目の操作で取り除かれた立体の名称を言え。(100点)

(乙)V_nを求めよ。(100点)

(丙)S_nを求めよ。(100点)

(丁)数列{a_n}をa_n＝V_n³S_n^-2と定義する。極限値を求めよ。(100点)


問7(200点)
A(1,0,0)，B(0,1,1)，C(1,0,1)，D(-2,-1,-2)があり，

線分ABをa:(1-a)に内分する点をE，

線分CDをa:(1-a)に内分する点をF，

線分EFをb:(1-b)に内分する点をGとする。

今，AB⊥EFで，かつOGとBCが交わるという。OGとBCの交点の座標を求めよ。


問8(200点)
kは0でない実数とする。x²＋y²＜k²が表す領域Aとy≧x²/2-2kが表す領域Bの位置関係について論ぜよ。


問題4　テーマ『行列』
M(a,b)はa行b列の行列の集合。特に指示のない場合は正方行列。
M(2)のとき　(1,1成分　1,2成分　2,1成分　2,2成分)の順に数字を並べる。他も同様。

問1(200点)
行列A＝(tan135° -2sin60° 2sin60° tan135°)に対して，Σ[k＝1〜3n]A^kを計算せよ。


問2(300点)
A²＝(1 a a 1)について，

(甲)a＝0の時，Aを全て求めよ。(150点)

(乙)a＝1の時，Aを全て求めよ。(150点)


問3(200点)
M(1,2)∋(s_n+1 t_n+1)＝2^-1(1 1 -1 1)(s_n t_n)∈(1,2)

でP_n(s_n,t_n)を定める。また，

<OQ_n>＝<OP₁>+<OP₃>+…<OP_2n-1>

でQ_n(u_n,v_n)を定める。

n→∞の時，Q_nの行き着く点を求めよ。< >はベクトルを表す。


問4(200点)
楕円3x²＋7y²＝21を原点を中心に反時計回りにπ/6だけ回転して得られる曲線の方程式を求めよ。


問5(200点)
(a a-2 1 1)で表される1次変換をfと表す。原点を通る直線Lのfによる像をf(L)と表す。

L₁とf(L₁)が90°をなし，L₂とf(L₂)が90°をなし，L₁とL₂が60°をなすという。aの値を求めよ。

問6(500点)
次の連立方程式について，

s+2u-v+2w＝a
2s+t+3u-v-w＝b
-s+3t-5u+4v+w＝c

(甲)a＝b＝c＝0の時，連立方程式を解け。(125点)

(乙)a＝3，b＝-1，c＝-6の時，連立方程式の解の1つを求めよ。(125点)

(丙)(甲)で答えた解をx，(乙)で答えた1つの解をyとおくと，x+yも(乙)の解であることを示せ。(125点)

(丁)(乙)の解は全てx+yと書けることを示せ。(125点)


問7(200点)
a,bを0でない実数とする。A＝(0 a 0 b 0 b 0 a 0)とし，BをAⁿの集合とする。

(a,b)の組のあらゆる組み合わせを考えればBの異なる要素の個数もそれに応じて変化しうる。

次のうちBの異なる要素の個数として考えられるものを全て選べ。

考えられるものには証明として一例を，考えられないものにはそのことの証明を添えよ。

1個　2個　3個


問8(200点)
手順1：平面上において，直線Lと，L上にないに点A，Pをとる。

手順2：L上に点Bを，線分ABとLが直交するようにとる。

手順4：Bを中心とし，Lを角度7.5°だけ回転する。

手順5：Q点を，Lに関してPと対称になるようにとる。

手順6：Aを中心とし，Qを角度15°だけ回転する。この点をRとする。

手順7：線分PRの中点について分かったことを一言でまとめる。

以上を実行せよ。


問題5　テーマ『確率』

問1(600点)
サイコロをn回投げる。n回目に出た目をN_nと表す。

またn番目の素数をP_nと表す。

f(n)＝Σ[i＝1〜n]P_iN_iと定義する。

(甲)f(9)が2の倍数である確率を求めよ。(200点)

(乙)f(3)が6の倍数である確率を求めよ。(200点)

(丙)f(n)が2n以下である確率を求めよ。(200点)


問2(600点)
スイッチを押すたびに1〜nまでの自然数のうち1つがランダムに表示されるプログラムを組んだ。

スイッチをk回目に押したときに表示された自然数をN_kと表す。

(甲)N₁＜N₂となる確率を求めよ。(200点)

(乙)N₁＜N₂＜N₃＞N₄となる確率を求めよ。(200点)

(丙)(乙)で得た8次式を一般の実数に関する関数f(x)と見たとき，y＝f(x)x^-4の極値を求めよ。x≧1とした時，最大・最小があれば求めよ。(200点)


問3(600点)
3人でじゃんけんをする。n≧3とする。

(甲)1回目で勝者が1人になる確率を求めよ。(200点)

(乙)2回目で勝者が1人になる確率を求めよ。(200点)

(丙)n回目で勝者が1人になる確率を求めよ。(200点)


問4(200点)
あるゲームでは対戦者2人は互いにサイコロを2回ずつ振り，先手1回目，2回目，後手1回目，2回目の出目をそれぞれS₁，S₂，G₁，G₂とする。

そして以下の得点を得る。

先手：S₂(S₂≧G₁)　G₂(S₂＜G₁かつS₂≠G₂)　aS₂＋b(S₂＜G₁かつS₂＝G₂)

後手：G₂(G₂≧S₁)　S₂(G₂＜S₁かつS₂≠G₂)　aG₂＋b(G₂＜S₁かつS₂＝G₂)

このゲーム，互いに条件は同じであるから完全に運に任せていれば勝率は五分五分といったところであろう。

どちらにも協力しない第三者が作ったサイコロ4個を利用することになったが，

仮にこの中に1個だけいびつなサイコロがあって，それを先手が1回目に振ったとする。

先手2回目および後手は精確なサイコロを振った。

このようなことがあったとして，この影響を完全に排除できるような(a,b)は存在するか。


★第1回終了!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!