問題1：テーマ『極限』
※各問共通注意事項
特に指示のない限り，途中の思考過程を記すこと。


問1(200点)
数列{a_n}の極限を求めよ(結果だけで良い)。

a_n＝(1+n^-1)ⁿ


問2(200点)
数列{b_n}の極限を求めよ(問1の結果を用いてよい)。p，qは実数とする。

b_n＝(1-pn^-1)^qn


問3(360点)
f(x)＝(x+2^(1/2))²¹+210(1+(log│x│)²+sin²x)^-1-2100について，

(甲)任意のxに対して，f(x)≧g(x)となるような関数g(x)を1つ求めよ。(120点)

(乙)任意のxに対して，f(x)≦h(x)となるような関数h(x)を1つ求めよ。(120点)

(丙)以上で求めたg(x)，h(x)を用いて，方程式f(x)＝0が実数解を持つことを示せ。(120点)


問4(200点)
xを限りなく0へ近づける時の極限値を求めよ。d≠0とする。

(cosaxsinbx-sinbxcosbx-cosaxsinbxcoscx+sinbxcosbxcoscx)/(x⁴sindx)


問5(240点)

(甲)数列{c_n}の極限を求めよ。p＞0，q＞0，r＞0とする。(120点)

c_n＝(pn+q)^(1/2)-(rn)^(1/2)

(乙)数列{d_n}の極限を求めよ。p＞0，q＞0，r＞0，s＞0とする。(120点)

d_n＝(sn)^(1/2){(pn+q)^(1/2)-(rn)^(1/2)}


問6(360点)

(甲)数列{e_n}の極限を求めよ。(120点)

e_n＝2ⁿn!/nⁿ

(乙)数列{f_n}の極限を求めよ。(120点)

f_n＝3ⁿn!/nⁿ

(丙)(甲)(乙)の結果から2と3の間の或る数を境に結果が変わることが予想される。その値を求め，その時どうなるかについて論ぜよ。(120点)


問7(200点)
数列{g_n}は収束するか。

g_n＝n^-n(nが素数の時)，n^-1(nが合成数の時)


問8(240点)
数列{h_n}の挙動について論ぜよ。H＞0，h₁＞0とする。
ヒント：決まった答えはないが，数列の増減，単調性など数列{h_n}の特徴を列挙すればよい。

h_n+1＝2^-1{h_n＋+H(h_n)^-1}


問題2：テーマ『不等式』

問1(200点)
次の各数を大きい方から順に並べよ。等しいものは等号で結べ。ただし，eは自然対数の底，πは円周率，logの底はeとする。

e，π，eπ，e/π，π/e，e^π，π^e，e^loge，e^logπ，π^loge，π^logπ


問2(200点)
66^(1/2)-8は或る自然数の逆数よりも小さく，その次の自然数の逆数よりも大きいという。或る自然数を求めよ。


問3(200点)
次の不等式を示せ。

cos1<2-sin1<tan1


問4(200点)
次の不等式を示せ。exp(x)＝e^xである。

1≦exp(x^(1/2))/(1+x^(1/2))≦1/(1-x)　(0≦x＜1)


問5(400点)
[x]はガウス記号でN≦x＜N+1を満たす整数Nを表す。

(甲)x²の整数部分が[x]となるような実数xを全て求めよ。(160点)

(乙)f(x)＝(x²-x+20)^(1/2)について，

(乙一)f(x)が実数となるような実数xを全て求めよ。(80点)

(乙二上)f(n)の整数部分が[n](＝n)となるような整数nを全て求めよ。(80点)

(乙二下)(乙二上)で求めたnのうち最大のものをn_maxとする。f(x)の整数部分が[x]となるような実数x∈(-∞,n_max]を全て求めよ。(80点)


問6(200点)
次の不等式を示せ。

π³/216+1/512+(πarcsin0.6)/16≧arcsin³0.6


問7(400点)
いずれも負でない実数A,B,C,L,M,N,S,T,Uは，

(A+B+C-1)²+(L+M+N-1)²+(S+T+U-1)²＝0

(A+L+S-1)²+(B+M+T-1)²+(C+N+U-1)²＝0

を満たし，実数O,P,Q,X,Y,Zは，

X≦Y≦Z

O＝AX＋BY＋CZ

P＝LX＋MY＋NZ

Q＝SX＋TY＋UZ

を満たす。

(甲)O+P+Q＝X+Y+Zを示せ。(200点)

(乙)次のうち常に成り立つ不等式についてはそれを示し，そうでないものは反例を挙げよ。(200点)

O≧X，P≧Y，Q≧Z，Q≦Z，O+P≧X+Y


問8(200点)
数列{a_n}について調べた結果，分かったことを述べよ。

a_n＝[(n+1)^(1/2)+1/2]-[n^(1/2)+1/2]


お気に入りは問1，3，8です。なかなか面白い。


★問題3以降のテーマについて(予定)

問題3：平面図形

問題4：行列(行列は表記が面倒なので，積分法に変更する可能性が高い)

問題5：確率