こんなのはどうかな？

私も、小学３年生以です。
あっ、式も書くんだったんですね。
次の通り。
１+１+１+１+１+１+１+１+１+１+１+１+１+１+１+１+１+１+１+１+
１+１+１+１+１+１+１+１+１+１+１+１+１+１+１+１+１+１+１+１+
１+１+１+１+１+１+１+１+１+１+１+１+１+１+１+１+１+１+１+１+
１+１+１+１+１+１+１+１+１+１+１+１+１+１+１+１+１+１+１+１+
１+１+１+１+１＝４５

なんてのは？説明下手だけど

わたしは７月中に、むしろ初日に宿題をやってしまっていました。
日記とかも用事が入っている日は予測で書いてました。
すみません、先生。・・・もう時効ですよね。

小6女子です。

中2ですが…すみません。回答してもよかったんですよね。

めんどいけど、考え方としてはアリですよね

まず簡単な方法を

もう１つ。

面倒ですが

＞『全部数える』という考えを式にしてくださらないと　△　ですよ>>2

＞どのれつにも円が５こならんでいる・・・も、
＞れつは全部で９あるから・・も、
　『全部数える』、も、

端っこから順に数えてるのに違いはない。　　「両手の指の数」より多いときだけ「式」を求める？

９×１０÷２＝４５　Ａ．４５個
という考え方に予め答えが分かっていないといけない…と申し上げましたが、そんなこと
なかったですね。

１列目に新たに付け加える４個の点は２列目の元の点の数に相当。
２列目に新たに付け加える５個の点は１列目の元の点の数に相当。
２列で考えると新たに付け加える点の数は元と同数になる。

わけですから…

中　年ですが参加
根性曲がってます

　こういう見え方も

↑
なんで、合計「４９」なんだ・・・ 　自分ツッコミ

こんな風に見えます

もうひとつ考えました

まあ、同じなんですが

４５分で３０問近く解かなければならないテストの中の１つですから、３日も開ければ
十分でしょう。用意していた答えは出題文下部のＡ【　】を反転して確認してください。

この問題（元ネタであるテスト）の意図は、掛け算の活用力（理解力）をみることにあり、
説明に合う式を書くもの１題、説明と数式の２つを求めるもの１題の計２題でした。

�@横の列の５個ずつのまとまりは、９組あるだから

式（　　　　　　　　　）

答えは４５個です。

�A
●　　　●　　　●　　　●　　　●
　　●　　　●　　　●　　　●　　　●
●　　　●　　　●　　　●　　　●
　　●　　　●　　　●　　　●　　　●
●　　　●　　　●　　　●　　　●
　　●　　　●　　　●　　　●　　　●
●　　　●　　　●　　　●　　　●
　　●　　　●　　　●　　　●　　　●
●　　　●　　　●　　　●　　　●

アキラさん（仮名）は図のようなまとまり（赤丸群）を考えて求めました。
アキラさん（仮名）の考えを、式や言葉を使って書きなさい。

が本題で５×５＝２５　４×５＝２０　２５＋２０＝４５　４５個という式と考え方は例として
示されていたのですが、こういう掛け算と足し算の複合問題こそ本題として設定される
べきでしょう。
ここまでお膳立てして活用力？…臍で茶の沸く話です。
また、多様な考え方をさせるために【台形の公式】を排除したのに、このような色々な
考え方のできる問題で、掛け算の活用力だけを見ようとするのも「なんでやねん」と
ツッコミたくなります。
台形の公式は、指導要領から消えただけで、現場から消えたわけではありませんがね。

＞２列を１まとまりにする。
＞９×５＝４５　Ａ．４５個

ということは、２列にある円の数は、１個、２個・・・、９個
と数えているんですよね。

ならば、２列だけといわずに、１個、２個・・・・、４５個と全部数えて
４５×１＝４５（４５個の塊が１個）という考えは同じではと思いますが、
ちがいますか？

マキチャンさん
仰る通りです。
１個ずつ数えて１×４５でも、３段で考えて１５×３でもいいのです。
さらに３段の変形で、上から３段は右向き三角形が５個
●
　　●　×５
●
中３段は、左向き三角形が５個
　　　●
●　　　×５
　　●
下３段はまた、右向き三角形が５個
●
　　●　×５
●
で、３×１５＝４５　Ａ．４５個というのもありますよね。

＞ちがいますか？
と詰問調？でいらっしゃいますが、掛け算の活用に留まらず色々な考え方が出来ること
（するべきであること）は、Ｎｏ.１８で語っておりますので、解答で示しているのはあくまでも
業者の解答�@�Aと私の一例に過ぎず、あれが全てだと言っているわけではありませんよ。

＞ちがいますか？ ←ﾆｺﾆｺﾏｰｸ
詰問調のつもりではありません。
ごめんなさい。書き方が悪くて。
たんに質問だったんです。

さて、ここからが（＋α）の余談の部分です。
次の問題は、中学生が解くのかな？高校生かな？というものです。
Yahoo知恵袋でも質問されていますし、宿題の丸投げじみているので皆さんに解けとは申しません。

半径ｒの円形の花壇のまわりに、幅ａの道がついています。
この道の面積をＳ、道の真ん中を通る円周の長さをｌとすると、
Ｓ＝ａｌ
となることを証明しなさい。

という問題です。図が無いのでイメージしにくいですよね。
半径ｒ＋ａの大きな円から半径ｒの小さな円をくり抜いたドーナツ型の面積がａｌになれば良い
ってお話です。

まず、ドーナツ型の面積Ｓを求めることにしましょう。
（大きな円）−（小さな円）＝ドーナツ型（Ｓ）ですよね。
円の面積の公式は小学生だと、半径×半径×３．１４と習います。
今回は中学生的に、πｒ＾として計算することにしましょう。
Ｓ＝π（ｒ＋ａ）＾−πｒ＾
　＝πｒ＾＋２πａｒ＋πａ＾−πｒ＾
　＝２πａｒ＋πａ＾
　＝πａ（２ｒ＋ａ）

ドーナツ型の面積は出ましたが…ここまでは大丈夫ですか？（私自身怪しいですよ）
どこにもｌが出て来ていないので比べようがないですね。ということで、ａｌを何とかｒを使って表してみることにしましょう。ｌというのは、小さい円の半径にａの半分を加えた中くらいの円の円周に当たります。
円周＝直径（２ｒ）×円周率（π）で求められるので、
ｌ＝２π（ｒ＋ａ／２）
　＝２πｒ＋πａ
で、
ａｌ＝ａ（２πｒ＋πａ）
　　＝２πａｒ＋πａ＾
　　＝πａ（２ｒ＋ａ）
よって、
Ｓ＝ａｌ
証明できましたね。（頭痛い…数学大嫌い）
この問題だけ解いても、何の感動も湧いてこないのですが、視点を大きく広げてみましょう。
（これ以降も、数学が得意な人・好きな人は「何を当たり前のことを」と思われるでしょうが…）

ここで小学６年生までレベルを落としてみましょうか。質問です。（囁かないで結構です）
�@正方形の面積の求め方…覚えていますか？　
�A長方形の面積の求め方…覚えていますか？　
�B平行四辺形の面積の求め方は？　　　　　　
�C台形の面積は？　　　　　　　　　　　　　
�D三角形の面積は？　　　　　　　　　　　　
円の面積は…先ほどしましたね。　　　　　【半径×半径×３．１４】です。

ついでの質問です。

�E長方形の面積の求め方で、正方形の面積を求めることが出来ますか？　　　　　
�F平行四辺形の面積の求め方で、長方形の面積を求めることが出来ますか？　
�G台形の面積の求め方で平行四辺形の面積求めることが出来ますか？　　　　　　
�H台形の面積の求め方で三角形の面積を求めることが出来ますか？　　　　　　　　

最後がわかりません(>o<)回答は公開okです。

�Hはこうかな？

由菜さん、メガネ好きさん
余談に付き合ってくださって…ありがとうございます。
�@〜�Dの公式は由菜さんが完璧に答えて下さっていますが、一応載せておきましょう。

�@　　Ａ．１辺×１辺（正方形は縦・横という言い方はしない）
�A　　Ａ．縦×横
�B　　Ａ．底辺×高さ
�C　　Ａ．（上底＋下底）×高さ÷２
�D　　Ａ．底辺×高さ÷２

�E〜�Hについては…すべて可能です。
メガネ好きさんの説明の通り、�H三角形は、上底＝０の台形だと考えることが出来ますよね。

つまり、台形の面積の公式さえ覚えておけば台形・正方形・長方形・平行四辺形・三角形の面積が
答えられるということになります。
なのに、何故…学習指導要領から消えた？
ここで、先ほどのS＝ａｌに戻ります。この公式を言葉で表すと…
面積（Ｓ）＝幅（ａ）×平均の長さ（ｌ）となります。
だんだん核心に近づいてきましたよ…台形の面積の公式を少し変形させましょう。
台形の面積＝高さ×（上底＋下底）÷２
言葉を変えましょう。
高さとは上底と下底の間の長さ…つまり【幅】
上底と下底を足して２で割る…これは、上底と下底の【平均の長さ】
台形の面積＝幅×平均の長さ
おや、Ｓ＝ａｌになってしまいましたね。
最後に、円の面積ですが…ドーナツの穴に当たる小さな円の半径を小さくしていくと最終的に円
になりますよね？Ｓ＝ａｌで円の面積も求めることが出来るのです。

ドーナツ型の面積を求める公式Ｓ＝ａｌは、台形・正方形・長方形・三角形・平行四辺形・円の面積
が求められる汎用性の高い公式だった。というより、一見形の異なる図形が実は根っこの部分で
繋がっているということに驚きませんか？

小学校から積み上げてきたものが1本の線に繋がる…系統だった教育が為されていれば、もっと
算数／数学を楽しみつつ学習できるのかも知れませんねぇ。（私はもう無理ですが…）

先生…こういうことを知らず（教材研究せずに）教科書の表面だけなぞった授業をしていませんか？

算数嫌いを作らないように頑張ります。という長続きしない決意表明をして閉めることにします。