〜ルール〜
１．問題1〜問題5まで出題され，各問題にはテーマに沿った問が複数個含まれております。
２．各問題は2000点満点ですから，合計10000点満点で競って頂くことになります。
３．各問には配点があります。但し，難易度の高い問題に高い点数を配すシステムを排除しております。それ故，実力差は反映され難くなっておりますが，しかし，基礎力は，これを反映するようになっているのではないかと思います。
４．実力差による得点差は，これが３のシステムにより過度に抑制されるのを防ぐ必要もあろうかと思われます。それに加えて，高得点の争いになることを未然に防止するため，とにかく減点することを基本方針と致します。
５．解答に当たりましては，如何なる物を参照して頂いても差し支え御座いません。

問題1
※各問共通注意事項
特に指示のない限り，途中の思考過程を記すこと。


問1(200点)
数列{a_n}の極限を求めよ(結果だけで良い)。

a_n＝(1+n^-1)ⁿ


問2(200点)
数列{b_n}の極限を求めよ(問1の結果を用いてよい)。p，qは実数とする。

b_n＝(1-pn^-1)^qn


問3(360点)
f(x)＝(x+2^(1/2))²¹+210(1+(log│x│)²+sin²x)^-1-2100について，

(甲)任意のxに対して，f(x)≧g(x)となるような関数g(x)を1つ求めよ。(120点)

(乙)任意のxに対して，f(x)≦h(x)となるような関数h(x)を1つ求めよ。(120点)

(丙)以上の結果を用いて，方程式f(x)＝0が実数解を持つことを示せ。(120点)


問4(200点)
xを限りなく0へ近づける時の極限値を求めよ。

(cosaxsinbx-sinbxcosbx-cosaxsinbxcoscx+sinbxcosbxcoscx)/(x⁴sindx)


問5(240点)

(甲)数列{c_n}の極限を求めよ。p＞0，q＞0，r＞0とする。(120点)

c_n＝(pn+q)^(1/2)-(rn)^(1/2)

(乙)数列{d_n}の極限を求めよ。p＞0，q＞0，r＞0，s＞0とする。(120点)

d_n＝(sn)^(1/2){(pn+q)^(1/2)-(rn)^(1/2)}


問6(360点)

(甲)数列{e_n}の極限を求めよ。(120点)

e_n＝2ⁿn!/nⁿ

(乙)数列{f_n}の極限を求めよ。(120点)

f_n＝3ⁿn!/nⁿ

(丙)(甲)(乙)の結果から2と3の間の或る数を境に結果が変わることが予想される。その値を求め，その時どうなるかについて論ぜよ。(120点)


問7(200点)
数列{g_n}は収束するか。

g_n＝n^-n(nが素数の時)，n^-1(nが合成数の時)


問8(240点)
数列{h_n}の挙動について論ぜよ。H＞0，h₁＞0とする。

h_n＝2^-1{h_n＋+H(h_n)^-1}