A(1), ..., A(n) は方程式 x^n - 1 = 0 の解であるから，
解と係数の関係より，
　　B(1) = A(1) + ... + A(n) = 0.

(1) m = r n (r は整数) であるとき，
全ての k = 1, 2, ..., n について，
　　A(k)^m = (A(k)^n)^r = 1^r = 1
であるから，B(m) = n.

(2) m と n が互いに素であるとき，
　　A(k)^m = exp(2πi km/n)
と書けるので，任意の j, k (1 ≦ j < k ≦ n) に対し，
　　A(k)^m/A(j)^m = exp(2πi (k-j)m/n) ≠ 1
であるから，
　　{A(1)^m, ..., A(n)^m} = {A(1), ..., A(n)}
が成立する．すなわち，B(m) = B(1) = 0 である．

(3) m が n の倍数でなく，かつ，m と n が互いに素でないとき，
最大公約数で割ることにより，素である場合に帰着され，
このときも容易に B(m) = B(1) = 0 が示せる．

以上より，m が n の倍数になるときのみ B(m) = n であり，
それ以外では B(m) = 0 である．

オイラーの公式で解を表したら<br>等比数列になることがわかります<br><br>それを等比級数の和の式に表せば<br>答えはすぐに求まります

x^n=1の異なるn個の解は
A[k]=exp(ika)
a=2π/n
k=1...n
と書ける。
exp(ina)=exp(2πi)=1である。

A[k]^mのk=1からnまでの和B[m]は
B[m]
=ΣA[k]^m
=Σexp(imka)
=Σ{exp(ima)}^k
とすれば、これは公比がexp(ima)の等比数列の和と見なせる。

exp(ima)=1のとき
すなわち2πm/nが2πの倍数になるときだから、mがnの倍数のときは、
Σ{exp(ima)}^k
=Σ1^k
=n

exp(ima)≠1のとき
すなわちmがnの倍数ではないときは、等比数列の和の公式から
Σ{exp(ima)}^k
=exp(ima){exp(imna)-1}/{exp(ima)-1}
exp(imna)={exp(ina)}^m=1だから、上の和は0である。

したがって数列B[m]はmがnの倍数ではないときは0で、mがnの倍数のときにnとなるような数列である。