これでいいでしょうか
証明問題はわかればミスがほとんどないんで好きなんですが
囁くのが大変なので途中、省略したりさせていただいています

宿題の丸投げ　　と思われないためには、
まず、「出題者」が「囁き」に「正解例」を入れておくようにしましょう。

厳密ではないが

↑そうかそうか
　言われてみて思い出しました

ですがパスワードは最後に公開でいいと思いますよ？

ヒラメキのない馬鹿による解答。長い。

追記：[1]と[2]の証明は別物です。リンクするところはありません。

まさかね？

第一感で浮かんだのがこんなところです．

↑ fyh さんが「厳密ではないが」とコメントされているので，「同じ考え方」と書かれると，やはり厳密ではないような印象ですが，厳密な証明です．必要ない方も多いでしょうが，厳密さを明確にするため，少しだけ追記しておきました.

ついでに，これもすぐに思いついた別解を書いておきます.

＞数�Uの範囲で…

「中２」（または「中学」）ぐらいまででも、厳密に証明できると思いますが、
もう先に回答なさった皆様のお考えと同じなのでしょう…
というわけで、省略ばかりで、ゴメンなさいですぅ。
＊省略部分が必要なら、どなた様かにお願いしますぅ。ダダダッ…（逃）

前回とまったく違う方向からのアプローチで

全部書くのが面倒なので端折ってます。

これなら中学生でもわかるんではないかと

以前囁いた解答と同じ内容です。

三角形の三辺の長さをa,b,c とし、s=(a+b+c)/2 (一定) とすると、この三角形の面積Sは、
S=√(s(s-a)(s-b)(s-c)) �@
a,b,c は三角形の辺の長さであるから、
a+b>c, b+c>a, c+a>b
よって、
s-a=(-a+b+c)/2>0, s-b=(a-b+c)/2>0, s-c=(a+b-c)/2>0

ここで、相加・相乗平均の関係より、
((s-a)(s-b)(s-c))^1/3≦((s-a)+(s-b)+(s-c))/3
((s-a)(s-b)(s-c))^1/3=(3s-(a+b+c))/3
((s-a)(s-b)(s-c))^1/3=s/3
よって、
√((s-a)(s-b)(s-c))≦(s/3)^3/2
√((s-a)(s-b)(s-c))=√3/9*s^3/2
�@より、
S=√(s(s-a)(s-b)(s-c))
S≦s^1/2*√3/9*s^3/2
S=√3/9*s²
よって、Sはs-a=s-b=s-c 即ちa=b=c のとき最大となり、このときこの三角形は正三角形である。
故に、問題の内容が成り立つ。

※(s-a),(s-b),(s-c) ではなくs,(s-a),(s-b),(s-c) で平均をとると等号成立条件がおかしくなってしまいます。(a=b=c=0 になる)