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このクイズの参加者（4人）
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 繰り返し数列
難易度：★★★
 スコーンBBQ味
2010/03/28 20:54
どうも初めましてスコーンBBQ味です
 次の数列の一般項を求めよ 追加です･･･答えが沢山ありそうなのでガウス記号や三角関数を使わずに 解いてみてください 1) 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1 2) 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3 3) 1, 1, -1, 1, 1, -1, 1, 1, -1 4) 3, 5, 7, 5, 3, 5, 7, 5, 3, 5, 7, 5 5) 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 1 4,5は発想の転換が必要です  過去に投稿された数列の問題をすべて確認していないので重複した問題があったら 申し訳ありませんm(-_-)m
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回答募集は終了しました。
スコーンBBQ味
1,2,3,5はn=1のときの値が違うかと。(ToT)
4は正解です。(^◇^*) 自分が用意した答えはガウス記号や三角関数を 使わないので、正解した4も使わない一般項を考えてみてくださいm(._.)m 周期的に現れる間隔をkとする<br>（問1,2,3ではk=3,問4,5ではk=4)<br>また、そのときの周期的に現れる値を<br>a1,a2,・・・,akと置く<br>一般項anは<br> k<br>an=Σ[{1+cos(2π*(n-m)/k)}/2]*ak<br> m=1<br><br>ただし[]はガウス関数
思い切って一つにまとめてみました
 ↓失礼。下の囁きをご覧ください 
スコーンBBQ味
自分の数学力が足りなく式がよく理解できませんm(｡_｡；))m
□
スコーンBBQ味
1)の場合a1=0なので最後に *am (m=1) があると anはすべて0になってしまう気が(・・；) 出来れば詳しく解説をお願いします(m｡_｡)m 1 An=[(2n+7)/6]-[(2n+5)/6]
2 An=n+3-3[(2n+5)/6] 3 An=2[(2n+5)/6]-2[(2n+7)/6]+1 5 An=[(n+2)/4]+[(n+5)/4]-2[n/4]
ガウス記号の中に1/2足すの忘れてた
 
スコーンBBQ味
正解です
とりあえずガウス記号や三角関数を用いた解は たくさんありそうなので別解とさせていただきますｍ（。－_－。）ｍ 周期的に現れる間隔を4とする
また、そのときの周期的に現れる値を a1=1,a2=2,a3=3,a4=2と置く 一般項anは an=[{1+cos(2π*(n-1)/4)}/2]*1 +[{1+cos(2π*(n-2)/4)}/2]*2 +[{1+cos(2π*(n-3)/4)}/2]*3 +[{1+cos(2π*(n-4)/4)}/2]*2 ただし[]はガウス関数 n=4m+1のとき cos(2π*(n-1)/4)=1であり他は1より小さいことがわかります このときには =[{1+cos(2π*(n-1)/4)}/2]*1の項しか残りません 他の項は ０＜{1+cos(2π*(n-l)/4)}/2＜１ になり ガウス記号（切捨てとお考えください）を 使えば０になります したがって a(4m+1)=a1となります 同様に a(4m+2)=a2 a(4m+3)=a3 a(4m)=a4 となります
了解しました
４を例にお答えします
スコーンBBQ味
なんとこんなやり方があったとは
 丁寧にありがとう御座いました  自分が用意した解はガウス記号や三角関数を使わないので そちらの方も考えてみてください
スコーンBBQ味
単純に1,2,3,2と繰り返す数列です。
あることに気がつけば全部漸化式を立てて一般項を求められるので 頑張ってください
スコーンBBQ味
正解です
ウィキペディアで定義見た感じでは三角関数ではないと 自分は思っているのですが  ヒミツ
残念ですが三角関数を使った周期性を強引に
三角関数を使わず表したものです  先ほどの私の回答は 三角関数で書き表すことが可能です 囁きを参照のこと 一見違うようなものも実は同じ回答。 数学の面白いところのひとつだと思います 2) 2＋sin(120°×(n＋1))×2/√3
3)[1-4×cos(120°×n)]/3 4)5-2sin(90°×n) 5)2-sin(90°×n)
というわけで心置きなく他も三角関数で解かせていただきましょう
時間に余裕があるようでしたら 上の囁きと同じように出題者様の答えを展開していってください きっと囁きと同じ答えになるはずです  （万一最終的な形が違っていても三角関数の公式をお使いいただければ同じになると思います）
スコーンBBQ味
自分は複素関数についてまだまだ未熟だったようです
出かけていて返答が遅れました(´-ω-`) 1) mod(i-1, 3) mod(i+1, 3) / 2,
2) mod(i-1, 3) + 1, 3) 1 - mod(i-1, 3) mod(i+1, 3), 4) 3 + 2 mod(i-1, 4)(1 - mod(i-2, 4) mod(i-3, 4) / 3), 5) 1 + mod(i-1, 4)(1 - mod(i-2, 4) mod(i-3, 4) / 3)
いろいろありますが，とりあえず剰余計算で周期を作りました
スコーンBBQ味
なるほど！！まだこんなやり方が
２つの 2x2 行列
Ａ＝[ -1/2, √3/2] Ｂ＝[ 0, 1] [-√3/2, -1/2]， [-1, 0] を用いて， 1) (1 + [1, 1] A^n [1, 1]') / 3 2) 2 + [1, -1] A^(n+1) [1, 1]' / √3 3) (1 - 2 [1, 1] A^n [1, 1]') / 3 4) 5 + [1, 1] B^(n+1) [1, 1]' 5) 2 + [1, 1] B^(n+1) [1, 1]' / 2 ただし，[1, 1]' は [1, 1] の転置 (つまり縦ベクトル) です．
では，別解のひとつとして，行列計算を用いた周期関数を示しましょう．
用いた行列の意味を分かる方は  でしょうが...ヒミツ
(1)の計算での求め方も書いておきます。
iは虚数単位 ωは(-1+√3i)/2 とする 1)(ω^n + ω^2n + 1)/3 2)(ω^2n-1 - ω^n-1)/√3i + 2 3)1-2*(ω^n + ω^2n + 1)/3 4)5-(i^n-1 + (-i)^n-1) 5)2-(i^n-1 + (-i)^n-1)/2 ヒミツ
ポイントは連続する3つの数の和が1ということです
ωは一の虚立方根の(-1+√3i)/2とする 0,0,1と繰り返すので連続する3つの数の和は必ず1になる 漸化式で表すとA(n+2)+A(n+1)+A(n)=1 ここでA(n)-1/3=B(n)とおくと B(n+2)+B(n+1)+B(n)=0 ･･･① ①は隣接三項間漸化式なので B(n+2)-α*B(n+1)=β*(B(n+1)-α*B(n))と変形できる B(n+2)-(α+β)*B(n+1)+αβ*B(n)=0 より ①と比較して α+β=-1,αβ=1 解と係数の関係よりx^2+x+1=0の解がα,β 両辺にx-1をかけるとx^3-1=0となるので α,βは一の虚立方根ω,ω^2 よって B(n+2)-ω*B(n+1)=ω^2 *(B(n+1)-ω*B(n)) ここでA(1)=0 A(2)=0より B(1)=B(2)=-1/3 B(n+1)-ω*B(n)=(1/3)*(ω-1)*ω^2(n-1)･･･② B(n+2)-ω^2*B(n+1)=ω(B(n+1)-ω^2*B(n)) B(1)=B(2)=-1/3 より B(n+1)-ω^2*B(n)=(1/3)*(ω^2 -1)*ω^(n-1)･･･③ ③-②より (ω-ω^2)B(n)=(1/3)*(ω^2 -1)*ω^(n-1)-(1/3)*(ω-1)*ω^2(n-1) ここでω^3=1を利用する 両辺にω^2をかけると (1-ω)B(n)=(1/3)*ω*(1-ω)*ω^(n-1)-(1/3)*(ω-1)*ω^2n 両辺を1-ωで割ると B(n)=(ω^n+ω^2n)/3 A(n)-1/3=B(n)より A(n)=(1+ω^n+ω^2n)/3 |
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