とりあえず解いてみました

途中式はめんどくさいので割愛〜

うーん、残念。再度チャレンジします！

だごさんと同じく，途中式はめんどくさいので割愛〜

(1)
arctan(1/2)=α, arctan(1/7)=β とおくと、
tan(0)<1/2<tan(π/6), tan(0)<1/7<tan(π/6) なので、
0<α<π/6, 0<β<π/6
よって、
-π/6<2α-β<π/3
また、
tan(2α)=(2*1/2)/(1-(1/2)^2)
=4/3
よって、
tan(2α-β)=(4/3-1/7)/(1+4/3*1/7)
=1
-π/6<2α-β<π/3 なので、
2α-β=π/4
∴2arctan(1/2)-arctan(1/7)=π/4

(2)
arctan(1/x)=α, arctan(1/y)=β とおくと、
tan(α+β)=(1/x+1/y)/(1-1/x*1/y)
=(x+y)/(xy-1)=1/2
よって、
xy-2x-2y=1
(x-2)(y-2)=5
x,y は整数なので、x-2,y-2 も整数である。
よって、
(x-2,y-2)=(1,5),(5,1),(-1,-5),(-5,-1)
∴(x,y)=(3,7),(7,3),(1,-3),(-3,1)

(3)
arcsin(x)=α とおくと、
cos(π/2-α)=sin(α)
=x
よって、
arccos(x)=π/2-α
故に、
arcsin(x)+arccos(x)=π/2
となり、xの値にかかわらず一定の値をとる。

(4)
arccos(x)=α とおくと、
cos(α)=x
cos²(α)=x²
1/(1+tan²(α))=x²
tan²(α)=(1-x²)/x²
0≦α≦π, 0<x<1 より0<cos(α)<1 なので、
0<α<π/2
このとき
tan(α)>0
よって、
tan(α)=√(1-x²)/x
∴arccos(x)=arctan(√(1-x²)/x)
また、(3)より
arcsin(x)=π/2-arccos(x)
よって、
tan(arcsin(x))+tan(arccos(x))
=tan(π/2-arctan(√(1-x²)/x))+tan(arctan(√(1-x²)/x))
=x/√(1-x²)+√(1-x²)/x
ここで、相加・相乗平均の関係より、
x/√(1-x²)+√(1-x²)/x≧2√(x/√(1-x²)*√(1-x²)/x)=2
よって、最小値は2
等号成立は、
x/√(1-x²)=√(1-x²)/x
のときで、そのときのxの値は、0<x<1 よりx=1/√2
よって、tan(arcsin(x))+tan(arccos(x)) は、
x=1/√2 のとき最小値2 をとる。

↑非の打ち所のない解答です
きちんと取りうる範囲も書いていて素晴らしいですね
私なら定義域忘れて減点される

ちなみに(4)はこっちのほうが楽かも！？ってことで参考までに
(x使って解くのは大変そうなので）

(4)
(3)より
arcsin(x)=a
arccos(x)=π/2-aとおける
よって
tan(arcsin(x))+tan(arccos(x))
=tan(a)＋tan(π/2-a)=tan(a)＋1/tan(a)
（以下相加相乗）

(4) はこうしました．
arccos x = α とおくと、cosα = x，sinα > 0（∵ 0<α<π）より，tanα = sinα/cosα = √(1-x²) / x.
同様に arcsin x = β とおけば，tanβ = sinβ/cosβ = x /√(1-x²).　(以下相加相乗)