ヒント

(2＋√3)のn乗と(2−√3)n乗の関係を調べる。

1000桁になる証明はわかりませぬ。たくさん続く証明です。
個人的な予想としては1005桁くらい続きそう？

書き忘れたので証明の途中に付け加えてください

No.2のつづきです
1000桁までつづくことも証明してみました

常用対数を使うのはありでしょうか?

ヒント2
(2＋√3)のn乗＋(2−√3)のn乗＝(�@)数
⇔(�@)数−(2−√3)のn乗＝(2＋√3)のn乗

�@に入るのは？

(2＋√3)の2010乗が　〜.9999999…だから、↑より、(2−√3)の2010乗は……？

自分も証明はしたんですけど、（ヒント2が出る前に）logをもろに使ってるんでやめときます。
採点をしてくれるか見たかったんでちょっとコメントするのをためらってた次第です。

なるほど。
これはスッキリせざるを得ない
ああ私は、なんと回りくどいことをしてしまったんだろう

↓ロックされていますのでここにコメントを書かせていただきます
　(2＋√3)^n＋(2-√3)^nが整数となる証明が不完全です
　(a＋√b)^n=an＋bn√bとすると
　(a-√b)^n=an-bn√bと書けることを帰納法などを使って証明すべきです

なんか前半がすっきり書けない

みなさんありがとうございました。解答です。



まず、(2＋√3)のn乗とルートの部分の＋を−に変えた(2−√3）のn乗の関係を調べる
n＝2の時
（2＋√3）の2乗＝7＋4√3
（2−√3）の2乗＝7−4√3（以下計算結果以外省略）
n＝3
26＋15√3、26−15√3
n＝4
97＋56√3、97−56√3
よって、（2＋√3）のn乗の結果をA＋B√3とすると、（2−√3）のn乗は、A−B√3で表せる。
つまり、（2＋√3）のn乗＋（2−√3）のn乗＝2A＝整数…�@

√3＝1.7320508…より、
(2−√3)＜0.3
⇔(2−√3)の2乗＜0.09＜0.1
⇔(2−√3)の4乗＜(0.1)の2乗
⇔(2−√3)の2010乗＜(0.1)の1005乗
よって、(2−√3)の2010乗は限りなく小さいことが分かる。0.1の1005乗より小さいことから、少なくとも少数第1005位までは0が続く。�A

�@より、(2＋√3)の2010乗＋(2−√3)の2010乗＝整数
⇔(2＋√3)の2010乗＝整数−(2−√3)の2010乗
ここで�Aより、(2−√3)の2010乗は、0.000…と0が少なくも少数第1005位まで続くことが分かるため、整数からそれをひいたものの小数部分は、〜.99999…と、少数第1005位まで少なくとも9が続きます。
よって、(2＋√3)の少数第1位から第1000位までは全て9である。
(証明終わり)