約10日ほど上陸できませんでした。 が、その時間を使って問題製作をしていました。
覇者とは、kazoooがその回に出した問題を全て解ききった方のことです。
今回は難問が多いと思っています。 では早速。
[1]ある自然数Ｎに、以下の操作を合計1回以上行い、ある自然数Ｍをつくります。
Ｎからつくれない数を全て求めてください。
1.N=a*bのとき、Nをa+bに変える。
2.N=a+bのとき、Nをa*bに変える。
3.N=d^2のとき、Nをdに変える。
4.N=dのとき、Nをd^2に変える。
但し、a≠1,b≠1で、a,b,dは自然数とします。

[2]xを自然数とすると、A^n+1514^n+1107^n-2184^n-382^n-35^nはnの値に関係なく必ず2010xで表すことができます。このようなAの最小の値を求めてください。
また、Aの条件を満たす数はどのように表されるでしょうか？
（PCによる計算やチェックは避けてください。）
追記：A,nは自然数です。スイマセン。

[3]つい最近自分の問題の参照の数をカウントしていたら6721もあって驚きました。ありがとうございます。
そこで、以下の問題を。
ある6桁の自然数は、各位の数が全て異なっていて、0を使用していませんでした。
かつ、使っていない1桁の自然数を（0と3つありますね）を合計したら奇数になりました。ある6桁の数の条件を全て満たす数を1つ以上答えてください。ただし、その数は6721で割り切れることが分かっています。
＊これもPCによるチェック抜きで解いて欲しいです。使った場合は囁いてもらえるとありがたいです。

[1]は証明もお願いします（無くても構いませんがあったほうが・・・）
[2]はポイントとなるところがあるんで・・・
たくさんの回答をお待ちしております。オリンピック落ちた！万歳！（やけくそ ）