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弦の長さ

難易度：★★★ 　

ＩＬＭ 2010/03/06 14:55

　再び図形の問題。図が出せないのにスミマセン (;o;)

　まぁとりあえず問題。

　点Ｏを中心とする半径２ｃｍの円があります。その円周上に点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅがあります。
　このときの点の配置は、次の通りです。

　・ＡＣは直径。　・ＡＣ⊥ＢＯ　・∠ＡＯＥ＝∠ＥＯＤ＝∠ＤＯＣ＝６０°

　このとき、線分ＢＥの長さは何センチでしょう。
　できれば求める過程も書いてください。




	【　Ａ　√２＋√６（ｃｍ）　求め方。いろいろありますがとりあえず１つ。　ＢＯの延長線とＤＥの交点をＦとします。　また、ＡＢの延長線とＣＤの延長線の交点をＧ、ＢＧ上にあってＢＧ⊥ＤＨとなる点Ｈをとります。　まずはＢＦの長さを出します。　　ＢＦ＝ＢＯ＋ＯＦ　　ＢＯは半径なので２（これからはｃｍを省略します）、ＯＦは正三角形ＯＤＥの高さなので、１：√３より、　ＤＦ：ＯＦ＝１：√３　　１：ＯＦ＝１：√３　　　　ＯＦ＝√３　よってＢＦ＝２＋√３となります。　次に△ＢＦＧは直角二等辺三角形になるので、　　　　ＢＦ＝ＧＦ　また、　ＧＦ＝ＥＧ＋ＥＦ　ＧＦ＝ＥＧ＋１　なので、　　　ＢＦ＝ＥＧ＋１　ＥＧ＋１＝２＋√３　　　ＥＧ＝１＋√３　　となります。　さらに△ＨＧＥも直角二等辺三角形なので、１：√２を使い、　　　ＥＨ：ＥＧ＝１：√２　ＥＨ：１＋√２＝１：√２　　　　　　√２ＥＨ＝１＋√２　　　　　　ＥＨ＝（１＋√２）／√２　　　　　　ＥＨ＝（√２＋√６）／２　となります。　最後に、△ＢＥＨは１：２：√３の直角三角形なので、　　ＥＨ：ＢＥ＝１：２　　　　ＢＥ＝２ＥＨ　　　　ＢＥ＝（（√２＋√６）／２）＊２　　　　ＢＥ＝√２＋√６　となります。　図がないと分かりずらいので、かいてみて確かめてみてください。　　】