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 ブラックジャックは22で
難易度：★★★★
 りむじん
2010/02/04 18:55
いい加減良い問題を作ろうと奮闘しているりむじんです。
今回はブラックジャックというトランプゲームをアレンジしてみました  @トランプのスペードが13枚(A～13)ある。 @シャッフルして裏向きに山を作り、上から一枚ずつ引いていく。 @和が22以上になるまで引き、なったらまとめて捨て、続きから引く。 これをかってに君がやってみると、 @3枚目で22を超えた。 @7枚目で22を超えた。 @9枚目で22を超えた。 @13枚目で22になった。 @計4回まとめて捨てたが、全て奇数、全て偶数の組が一つずつあった。 以上の引きかたが成り立つ時、最初の山の並び方をいくつか答えて下さい。
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回答募集は終了しました。
りむじん
重要なことを抜かしていますね。
例えば9-7-6-1と引いたとしたら、 最初の9-7-6の時点で既に22に達していますよね？ 捨ててリセットなので、1の順番も考えて下さい。 3 7 K/1 5 8 9/J Q/2 4 6 10
1 9 K/3 5 7 8/J Q/2 4 6 10 の二通り。各まとまり内では、多少並び替えが可。 証明） 捨てたカードの組をまとまりと呼び、A回目に捨てたカードをA回のまとまりと呼ぶ。 1から13までの和は、(1+13)*13/2=91 1回のまとまりは3枚、2回のまとまりは4枚、3回のまとまりは2枚、4回のまとまりは4枚。 1回のまとまり+2回のまとまり+3回のまとまり+4回のまとまり=91 4回のまとまり=22なので、 1回のまとまり+2回のまとまり+3回のまとまり=91-22=69 ここで、1回のまとまり、2回のまとまり、3回のまとまりはそれぞれ23以上なので、 1回のまとまり=2回のまとまり=3回のまとまり=23となる。 偶数カードしかないのまとまりは、大きさも偶数なので、条件から、4回目のまとまりは偶数カードしかなかったと分かる。 また、奇数カードしかないまとまりは、大きさを奇数にするためにはカードは奇数枚でないとならない。よって、1回目のまとまりが、奇数カードのみ。 ここで、4つのまとまりを下のように表す。 1回のまとまり/2回のまとまり/3回のまとまり/4回のまとまり 4回目はすべて奇数で、4枚で、合計が22なので、 1回/2回/3回/2,4,6,10 のみである。 3回目は2枚で23になるので、10+K,J+Qのみ。 1回/2回/J,Q/2,4,6,10 となる。 1回のまとまりに偶数はないので、 ?,?,?/8,?,?,?/J,Q/2,4,6,10 となる。 2回のまとまりにKがあると、残りの二枚の和が2になってしまうので、 ?,?,K/?,?,?,8/J,Q/2,4,6,10 となる 1回のまとまりの残りの二枚の和は10なので、1+9か3+7となる。よって、 1,9,K/3,5,7,8/J,Q/2,4,6,10 3,7,k/1,5,8,9/J,Q/2,4,6,10 の二通りのみである。 Q.E.D N回のまとまりの並べ方がB通りある場合、[1]=Bと表す。1は最後に持ってこられないので、 1 9 K/3 5 7 8/J Q/2 4 6 10のとき [1]=2*2*1,[2]=4*3*2*1,[3]=2*1,[4]=4*3*2*1 よって、この場合のカードの並べ方は、 4*24*2*24=4608 3 7 K/1 5 8 9/J Q/2 4 6 10のとき [1]=3*2*1,[2]=3*3*2*1,[3]=2*1,[4]=4*3*2*1 よって、この場合のカードの並べ方は、6*18*2*24=5184 ゆえに、カードの最初の並びは、4608+5184=9792通り。 ゆえに9792通りの解（並べ方）がある。 
馬鹿みたいに丁寧に説明してみました。
 
りむじん
非常に細かく9792通りとは…すごいです
上から
ａ(11)３９ｑ６10ｋｊ４７８２５ ｑ６８ｋｊ７10４９５ａ(11)３２ ａ(11)５９ｑ８６10ｊ４ｋ２３７
数の数え方はブラックジャックのルールでいいんですか？
りむじん
反則ですし、条件に合っていません。
「超えた」と「なった」の使い分けがポイントですか？<br>13 8 2、11 1 3 9、12 10、4 6 7 5<br>13 3 9、11 2 4 5、12 10、1 6 7 8
苦手ですが、とりあえず２組 見つけました
。きっと 巧い計算方法があるんでしょうね。 ↓ 「超えた」は「以上」という意味ではなかったのですね  。
りむじん
12+10では22を超えません。
組み合わせは次の２通り
① (3,7,13),(1,5,8,9),(11,12),(2,4,6,10) その並び方を考えると 3!×(3×3!)×2×4! ② (1,9,13),(3,5,7,8),(11,12),(2,4,6,10) その並び方を考えると (2×2!)×4!×2!×4! ①②よりその和から 9792通り。
ふむ
りむじん
はい、9792通りです
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